Меню

Ток в параллельном rlc контуре

ПАРАЛЛЕЛЬНЫЙ КОЛЕБАТЕЛЬНЫЙ

КОНТУР

5.1. Схема параллельного колебательного контура

Параллельный колебательный контур представляет собой параллельное соединение катушки индуктивности и конденсатора , принципиальная схема которого показана на рис. 5.1а.

На рис. 5.1б показана эквивалентная схема параллельного колебательного контура, в которую включено сопротивление потерь катушки индуктивности, сопротивление потерь конденсатора в большинстве случаев можно не учитывать.

В ряде случаев применяется параллельная эквивалентная схема, показанная на рис. 5.1в, в этом случае сопротивление не является сопротивлением потерь контура, хотя и зависит от него. Параллельная модель рис. 5.1в удобна при расчете проводимости цепи.

5.2. Входное сопротивление и проводимость

В дальнейшем в основном будем использовать модель параллельного колебательного контура вида рис. 5.1б. Ее комплексное сопротивление определяется выражением

В окрестности частоты , равной

пренебрегая в числителе (5.1) величиной , получим

Как видно, целесообразно перейти к координатам обобщенной расстройки, рассмотренным в подразделе 3.6,

— добротность параллельного колебательного контура, равная

— характеристическое сопротивление контура,

В результате из (5.3) получим выражение для комплексного сопротивления контура в координатах обобщенной расстройки

из которого нетрудно найти модуль , аргумент , активную и реактивную составляющие,

(получите эти выражения самостоятельно). Графики этих функций показаны на рис. 5.2.

На частоте (5.2) сопротивление контура максимально, чисто активно и равно

графики на рис. 5.2 построены при кОм (сравните с сопротивлением последовательного контура, которое минимально на этой частоте). При отклонении от частоты сопротивление резко падает, появляется реактивная компонента. При сопротивление контура имеет индуктивный характер, а при — емкостный, этот же результат вытекает и из анализа фазовой характеристики на рис. 5.2б.

Анализ проводимости контура, в том числе и для модели рис. 5.1в, проведите самостоятельно.

5.3. Напряжение и токи в контуре

Подключим к параллельному колебательному контуру идеальный источник тока с комплексной амплитудой , как показано на рис. 5.3, и определим напряжение на параллельных ветвях контура ,

Токи и в реактивных ветвях контура в окрестности частоты , то есть при условии , соответст-

Рис. 5.3 венно равны

Амплитуда и начальная фаза напряжения на контуре определяются выражениями

где — начальная фаза тока источника. Зависимости амплитуды напряжения и сдвига фаз между этим напряжением и током источника от обобщенной расстройки показаны на рис. 5.4 при кОм и мА.

Как видно, кривая имеет экстремальный характер,

однако резонанс напряжения в параллельном колебательном контуре отсутствует, так как напряжение на контуре всегда равно напряжению на источнике тока.

Токи и в реактивных ветвях контура определяются формулами (5.14) и (5.15), из которых следует

Эти равенства нарушают первый закон Кирхгофа

то есть выражения (5.14) и (5.15) являются приближенными(как и все вычисления в координатах обобщенной расстройки).

Амплитуды этих токов одинаковы и равны

а начальные фазы и определяются соотношениями

Как видно, токи в реактивных ветвях контура противофазны. Зависимости амплитуд токов в реактивных ветвях контура и сдвигов фаз и между токами в реактивных ветвях и током источника от обобщенной расстройки показаны на рис. 5.5 при мГн, нФ, Ом и мА.

Как видно, токи и резко возрастают в окрестности точки (или частоты ) по сравнению с амплитудой тока источника, то есть в параллельном колебательном контуре имеет место резонанс токов в реактивных ветвях.

Частота (5.2) является резонансной частотой контура, на которой

то есть резонансный ток в реактивных ветвях контура в раз больше тока источника.

Так как токи и противофазны, то вводят в рассмотрение кольцевой замкнутый ток в контуре , как показано на рис. 5.6. Он совпадает по направлению с током и поэтому равен

Амплитуда контурного тока

равна (5.20), а начальная фаза (5.22), соответствующие графики показаны на рис. 5.5. Резонансный контурный ток в раз больше тока источника.

5.4. Вторичные параметры колебательного контура

Параллельный колебательный контур (как и последовательный) полностью описывается своими первичными параметрами , и . На практике широко используются вторичные параметры:

резонансная частота контура

— характеристическое сопротивление контура

— добротность контура

5.5. Частотные характеристики

Частотные характеристики параллельного колебательного контура представляют собой зависимость от частоты характеристик комплексного коэффициента передачи по току

где и — комплексные амплитуды токов реактивных ветвей контура, — комплексная амплитуда тока источника.

Рассмотрим комплексный коэффициент передачи тока емкости (аналогичный анализ проведите самостоятельно). Из (5.30) с учетом (5.14) получим

Для АЧХ и ФЧХ контура получим

где обобщенная расстройка определяется выражением (3.38)

Частотные характеристики параллельного колебательного контура в координатах вида (5.33) и (5.34) численно совпадают с аналогичными характеристиками для последовательного контура (3.42) и (3.43). Эти зависимости показаны на рис. 5.7 при .

Те же графики в координатах абсолютной расстройки оказаны на рис. 5.8 при и рад/с.

Максимум АЧХ равен и достигается при , то есть на резонансной частоте . При отклонении частоты от коэффициент передачи резко падает, то есть параллельный колебательный контур может использоваться как узкополосный частотный фильтр.

Влияние параметров контура на форму частотных характеристик было рассмотрено при анализе последовательного колебательного контура (повторите его самостоятельно)

5.6. Полоса пропускания и коэффициент

Так как выражение для АЧХ (5.33) параллельного колебательного контура совпадает с аналогичным выражением для последовательного контура, то формулы для полосы пропускания и коэффициента прямоугольности этих контуров совпадают (получите эти результаты еще раз самостоятельно),

5.7. Влияние сопротивления источника сигнала и

нагрузки на резонансные свойства контура

Рассмотрим параллельный колебательный контур на рис. 5.9а с реальным источником тока ( — внутреннее сопротивление источника) и параллельно подключенной нагрузкой .

Параллельное соединение и заменяется эквивалентным сопротивлением , как показано на рис. 5.9б, а в этой схеме необходимо преобразовать параллельное соединение и ветви в эквивалентное последовательное соединение в окрестности резонансной частоты контура . Найдем сопротивление параллельного соединения,

выделим его действительную и мнимую составляющие и приравняем их составляющим эквивалентного последовательного соединения элементов (рис. 5.9в) вида

В результате получим

Допустим, что сопротивление много больше величин и , тогда в окрестности резонансной частоты можно записать

(повторите эти преобразования самостоятельно).

Как видно из (5.42), подключение внутреннего сопротивления источника сигнала и нагрузки приводит к повышению эквивалентных потерь в контуре, эквивалентная добротность которого при этом равна

Полученное выражение совпадает с аналогичной формулой, учитывающей влияние нагрузки в последовательном колебательном контуре (проверьте это самостоятельно).

Подключение реального источника сигнала и нагрузки снижает эквивалентную добротность контура. Чтобы добротность упала незначительно, необходимо выполнение условий

Например, если , то , то есть добротность значительно снижается, а если , то .

Реализовать условие (5.45) достаточно сложно, а часто и невозможно и требуются использование неполного включения контура к источнику сигнала и нагрузке, как показано на рис. 5.10. Можно показать, что эквивалентная добротность в этом случае равна

— коэффициенты включения в контур источника сигнала и нагрузки. Их значения выбираются достаточно малыми (например, 0,1), что существенно ослабляет влияние на добротности сопротивлений и ,.которые должны Рис. 5.10

что значительно проще реализовать, чем (5.45).

Колебательные контуры вида рис. 5.10 называют сложными параллельными колебательными контурами. Помимо резонанса токов на частоте , равной

имеется резонанс напряжений в последовательном колебательном контуре на частоте

Рабочим является интервал частот в окрестности , в котором сопротивление контура в точках подключения источника сигнала в координатах обобщенной расстройки равно

5.8. Расчеты цепей с параллельными колебательными

Если в составе цепи имеется параллельный колебательный контур, то ее расчет целесообразно проводить в координатах обобщенной расстройки. Рассмотрим цепь, показанную на рис. 5.11 при Ом, мГн, нФ, кОм, в нее

включен источник гармонических колебаний с комплексной амплитудой В и частотой рад/с.

В состав цепи входит параллельный колебатель- Рис. 5.11

ный контур , его

резонансная частота , добротность и обобщенная расстройка соответственно равны

Вычислим комплексное сопротивление контура в координатах обобщенной расстройки,

Тогда ток равен

а напряжение на емкости —

Рассмотрим цепь со сложным параллельным колебательным контуром, показанную на рис. 5.12. приняв мГн, мГн и оставив остальные исходные данные теми же, что и для цепи на рис. 5.11. Коэффициент включения источника в контур равен

а общая индуктивность контура соответственно мГн, при этом резонансная частота, добротность и обобщенная расстройка будут такими же, как и в предыдущей задаче.

Сопротивление контура в точках подключения источника определяется выражением

а напряжение на емкости соответственно

5.9. Моделирование параллельного колебательного

Проведем схемотехническое моделирование цепи, показанной на рис. 5.11 в пакете MicroCAP7, схема модели представлена на рис. 5.13, частота источника 157,6 кГц ( рад/с).

В верхней части рис. 5.14 показаны полученные в результате моделирования временные реализации напряжений в узлах 1 (пунктир) и 2, которые на рис 5.13 отмечены цифрами в кружках. В его нижней части показаны временные диаграммы токов в неразветвленной части контура — тока источника (кривая с маленькой амплитудой) и токов в емкостной (пунктир) и индуктивной ветвях контура. На начальном интервале времени 60 мкс (60u) наблюдается переходной процесс, а затем колебания устанавливаются и можно проводить измерения (убедитесь самостоятельно, что результаты расчета и моделирования совпадают).

Читайте также:  Как подобрать амперметр для трансформатора тока

Как видно, токи в индуктивности и емкости противофазны, их амплитуды одинаковы и много больше амплитуды тока источника, то есть в параллельном колебательном контуре имеет место резонанс токов.

На рис. 5.15 приведены частотные характеристики цепи по передаче напряжения от узла 1 к узлу 2, по которым нетрудно определить напряжение на емкости (в узле 2).

5.10. Применение параллельного колебательного

Параллельный колебательный контур чаще всего используется как элемент частотного фильтра аналогично последовательному контуру (пример будет рассмотрен далее), или как нагрузка активного элемента (транзистора) в резонансном усилителе сигнала. Пример схемы такого усилителя в моделирующем пакете MicroCAP7 показан на рис. 5.16.

В состав усилителя входит импортный биполярный транзистор типа 2N5190 (можно использовать отечественный аналог) с цепями питания по постоянному току от источника постоянного напряжения 15В, параллельный колебательный контур и источник гармонического входного сигнала с частотой 159,15 кГц.( рад/с), совпадающей с резонансной частотой контура, и амплитудой 4 мВ.

На рис. 5.17 показаны временные диаграммы напряжений источника (верхняя кривая), выходного напряжения на коллекторе транзистора в узле 4 (нижняя кривая) и там же постоянное напряжение питания.

На рис. 5.18 представлены частотные характеристики резонансного усилителя (верхняя кривая – АЧХ, нижняя – ФЧХ). Коэффициент усиления равен примерно 3000 на частоте 151,6 кГц, что следует и из кривых на рис 5.17: амплитуда входного сигнала равна 3 мВ, а выходного 8,36 В (максимум АЧХ на рис. 5.18 несколько выше измеренного по временным диаграммам, так как она моделируется при весьма слабом сигнале).

Проведите моделирование рассмотренной цепи самостоятельно, изменяя ее параметры. Введите неполное включение транзистора к контуру, сравните результаты.

5.11. Задания для самостоятельного решения

Задание 5.1. Вычислите резонансное сопротивление параллельного колебательного контура при мГн, пФ, Ом.

Задание 5.2. Определите резонансную частоту контура

при кОм и С=1 нФ.

Задание 5.3. Найдите напряжение на емкости параллельного контура в цепи рис. 5.19 при мГн, пФ, Ом, В, кОм, рад/с. Расчет проведите в координатах обобщенной расстройки.

Задание 5.5. Получите выражение для АЧХ цепи, показанной на рис. 5.20. Постройте график АЧХ при мГн, пФ, Ом, кОм. Проведите расчет в координатах обобщенной расстройки и абсолютной частоты, сравните результаты.

Источник

Параллельный колебательный контур

В прошлой статье мы с вами рассмотрели последовательный колебательный контур, так как все участвующие в нем радиоэлементы соединялись последовательно. В этой же статье мы рассмотрим параллельный колебательный контур, в котором катушка и конденсатор соединяются параллельно.

Параллельный колебательный контур

Идеальный колебательный контур

На схеме идеальный колебательный контур выглядит вот так:

L – индуктивность, Генри

С – емкость, Фарад

Реальный колебательный контур

В реальности у нас катушка обладает приличным сопротивлением потерь, так как намотана из провода, да и конденсатор тоже имеет некоторое сопротивление потерь. Потери в емкости очень малы и ими обычно пренебрегают. Поэтому оставим только одно сопротивление потерь катушки R. Тогда схема реального колебательного контура примет вот такой вид:

R – это сопротивление потерь контура, Ом

L – индуктивность, Генри

С – емкость, Фарад

Принцип работы параллельного колебательного контура

Давайте подцепим к генератору частоты реальный параллельный колебательный контур

Что будет, если мы подадим на контур ток с частотой в ноль Герц, то есть постоянный ток? Он спокойно побежит через катушку и будет ограничиваться лишь сопротивлением потерь R самой катушки. Через конденсатор ток не побежит, потому что конденсатор не пропускает постоянный ток. Об это я писал еще в статье конденсатор в цепи постоянного и переменного тока.

Давайте тогда будем добавлять частоту. Итак, с увеличением частоты у нас конденсатор и катушка начнут оказывать реактивное сопротивление электрическому току.

Реактивное сопротивление катушки выражается по формуле

а конденсатора по формуле

Более подробно про это можно прочитать в этой статье.

Если плавно увеличивать частоту, то можно понять из формул, что в самом начале при плавном увеличении частоты конденсатор будет оказывать бОльшее сопротивление, чем катушка индуктивности. На какой-то частоте реактивные сопротивления катушки XL и конденсатора XC уравняются. Если далее увеличивать частоту, то уже катушка уже будет оказывать большее сопротивление, чем конденсатор.

Резонанс параллельного колебательного контура

Очень интересное свойство параллельного колебательного контура заключается в том, что при ХL = ХС у нас колебательный контур войдет в резонанс. При резонансе колебательный контур начнет оказывать большее сопротивление переменному электрическому току. Еще часто это сопротивление называют резонансным сопротивлением контура и оно выражается формулой:

Rрез – это сопротивление контура на резонансной частоте

L – собственно сама индуктивность катушки

C – собственно сама емкость конденсатора

R – сопротивление потерь катушки

Формула резонанса

Для параллельного колебательного контура также работает формула Томсона для резонансной частоты как и для последовательного колебательного контура:

F – это резонансная частота контура, Герцы

L – индуктивность катушки, Генри

С – емкость конденсатора, Фарады

Как найти резонанс параллельного колебательного контура на практике

Ладно, ближе к делу. Берем паяльник в руки и спаиваем катушку и конденсатор параллельно. Катушка на 22 мкГн, а конденсатор на 1000пФ.

Итак, реальная схема этого контура будет вот такая:

Для того, чтобы все показать наглядно и понятно, давайте добавим к контуру последовательно резистор на 1 КОм и соберем вот такую схему:

На генераторе мы будет менять частоту, а с клемм X1 и X2 мы будем снимать напряжение и смотреть его на осциллографе.

Нетрудно догадаться, что у нас сопротивление параллельного колебательного контура будет зависеть от частоты генератора, так как в этом колебательном контуре мы видим два радиоэлемента, чьи реактивные сопротивления напрямую зависит от частоты, поэтому заменим колебательный контур эквивалентным сопротивлением контура Rкон.

Упрощенная схема будет выглядеть вот так:

Интересно, на что похожа эта схема? Не на делитель ли напряжения? Именно! Итак, вспоминаем правило делителя напряжения: на меньшем сопротивлении падает меньшее напряжение, на бОльшем сопротивлении падает бОльшее напряжение. Какой вывод можно сделать применительно к нашему колебательному контуру? Да все просто: на резонансной частоте сопротивление Rкон будет максимальным, вследствие чего у нас на этом сопротивлении “упадет” бОльшее напряжение.

Начинаем наш опыт. Поднимаем частоту на генераторе, начиная с самых маленьких частот.

Как вы видите, на колебательном контуре “падает” малое напряжение, значит, по правилу делителя напряжения, можно сказать, что сейчас у контура малое сопротивление Rкон

Добавляем частоту. 11,4 Килогерца

Как вы видите, напряжение на контуре поднялось. Это значит, что сопротивление колебательного контура увеличилось.

Добавляем еще частоту. 50 Килогерц

Заметьте, напряжение на контуре повысилось еще больше. Значит его сопротивление еще больше увеличилось.

Обратите внимание на цену деления одного квадратика по вертикали, по сравнению с прошлым опытом. Там было 20мВ на один квадратик, а сейчас уже 500 мВ на один квадратик. Напряжение выросло, так как сопротивление колебательного контура стало еще больше.

И вот я поймал такую частоту, на которой получилось максимальное напряжение на колебательном контуре. Обратите внимание на цену деления по вертикали. Она равняется двум Вольтам.

Дальнейшее увеличение частоты приводит к тому, что напряжение начинает падать:

Снова добавляем частоту и видим, что напряжение стало еще меньше:

Что происходит на резонансной частоте в параллельном колебательном контуре

Давайте более подробно рассмотрим эту осциллограмму, когда у нас было максимальное напряжение с контура.

Что здесь у нас произошло?

Так как на этой частоте был всплеск напряжения, следовательно, на этой частоте параллельный колебательный контур имел самое высокое сопротивление Rкон. На этой частоте ХL = ХС. Потом с ростом частоты сопротивление контура снова упало. Это и есть то самое резонансное сопротивление контура, которое выражается формулой:

Резонанс токов

Итак, давайте допустим, мы вогнали наш колебательный контур в резонанс:

Чему будет равняться резонансный ток Iрез ? Считаем по закону Ома:

Но самый прикол в том, что у нас при резонансе в контуре появляется свой собственный контурный ток Iкон , который не выходит за пределы контура и остается только в самом контуре! Так как с математикой у меня туго, поэтому я не буду приводить различные математические выкладки с производными и комплексными числами и объяснять откуда берется контурный ток при резонансе. Именно поэтому резонанс параллельного колебательного контура называется резонансом токов.

Читайте также:  Varta silver dynamic ток заряда

Добротность параллельного колебательного контура

Кстати, этот контурный ток будет намного больше, чем ток, который проходит через контур. И знаете во сколько раз? Правильно, в Q раз. Q – это и есть добротность! В параллельном колебательном контуре она показывает во сколько раз сила тока в контуре Iкон больше сила тока в общей цепи Iрез

Если сюда еще прилепить сопротивление потерь, то формула примет вот такой вид:

R – сопротивление потерь на катушке, Ом

Применение параллельного колебательного контура

Параллельный колебательный контур применяется в радиоприемном оборудовании, где надо выделить частоту какой-либо станции. Также с помощью колебательного контура можно построить различные резонансные фильтры.

Источник

Формулы расчета параллельного колебательного контура

Параллельный колебательный контур в радиотехнике используется как основа частотно-избирательных цепей и встречается намного чаще последовательного. Реальные элементы контура обладают потерями и при анализе цепи используется реалистичная модель из идеальных сосредоточенных элементов в которой потери учитываются с помощью «виртуальных» последовательных активных сопротивлений R L и R C .

Собственная паразитная емкость катушки обычно не учитывается, т. к. она просто суммируется с контурной. Программа Coil32 рассчитывает потери в проводе катушке RL без учета потерь в каркасе, экране, сердечнике и во всех предметах, с которыми взаимодействует окружающая катушку электромагнитная волна. Однако, учитывается скин-эффект и эффект близости. Эти же потери учитывает параметр «конструктивная добротность катушки» — QL. Это не добротность всего контура, а добротность катушки, которая связана с ее сопротивлением потерь следующим соотношением:

Потери в контурном конденсаторе на порядок меньше и характеризуются добротностью конденсатора. Поскольку потери конденсатора сосредоточены в основном в диэлектрике, можно считать, что его добротность QC и сопротивление потерь RC связаны с параметром, учитывающем потери в диэлектрике tgδ, следующим образом:

При анализе цепи часто ее преобразуют в эквивалентную параллельную RLC-цепь. В этом случае, заменяя сопротивления проводимостями, мы упрощаем анализ и получаем формулы идентичные формулам последовательного контура. Многие радиолюбители полагают, что последовательные RL и RC просто преобразуются в параллельное R. Это не так:

Как видим активные сопротивления и реактивности при таком преобразовании «перепутались», поэтому для наглядности проведем анализ без использования проводимостей, прямо по исходной схеме. Входное сопротивление двухполюсника получается следующим:

Активная и реактивная (мнимая) составляющие:

При резонансе токи в реактивных элементах (IL, IC) в Q раз больше общего тока цепи (I), поэтому для параллельного контура явление носит название резонанса токов.

Резонансная частота параллельного колебательного контура — это частота, при которой реактивная составляющая входного сопротивления равна нулю, входное сопротивление чисто активно, и, соответственно, фазовый сдвиг между током и напряжением на входных зажимах цепи тоже равен нулю. Приравняв Xвх к нулю и проведя соответствующие преобразования получим следующую формулу для резонансной частоты параллельного колебательного контура:

резонансная частота параллельного колебательного контура [3]

Один из важнейших параметров контура — его характеристическое сопротивление:

ρ = √ L/C [4]

Формулу резонансной частоты можно представить иначе:

ω — резонансная частота последовательного колебательного контура.

Как видим резонансная частота параллельного колебательного контура равна резонансной частоте последовательного колебательного контура, составленного из тех же элементов, с добавкой поправочного коэффициента √ [(L/C — RL^2)/(L/C — RC^2)] . На практике этот коэффициент всегда близок к единице и равен единице если RL=RC или RL=RC=0.

Имеем контур с индуктивностью 3μГн и емкостью 42пФ, сопротивление потерь катушки — RL=2 Ом, конденсатора — RC=0.1 Ом. По формуле Томпсона резонансная частота контура равна 14.178649 МГц, точно вычисляем по формуле [1] — 14.178253 МГц. Как видим, активные сопротивления потерь вносят в идеальный контур дополнительную ре а ктивность и уводят его частоту вниз, в данном случае почти на 400 Гц.

Это совсем небольшое отклонение нужно иметь ввиду, но оно намного меньше отклонений, вносимых неучтенными паразитными емкостями. Поэтому при выполнении условий: R L C , что обычно бывает на практике, можно считать, что условия резонанса токов совпадают с условиями резонанса напряжений в последовательном контуре, составленном из тех же элементов L и C,

ω = 1/√ LC или ƒ = 1/(2π√ LC )

На этом «родственная схожесть» последовательного и параллельного контуров не заканчивается.
При выполнении тех же условий: R L , R C
где Z вх.посл = (R L + R C ) + j(ωL — 1 ⁄ ωC) – входное сопротивление последовательного контура, составленного из тех же элементов.

Как видим, можно считать, что сопротивления потерь катушки и конденсатора суммируются, поэтому общую добротность контура Q можно определить следующим выражением:

На резонансной частоте ω:

Поскольку реактивные сопротивления взаимно компенсируются, контур на резонансной частоте имеет чисто активное сопротивление равное Rэ (эквивалентное или эффективное сопротивление контура).

Из последней формулы следует, что:

Т.е. добротность контура равна отношению его характеристического сопротивления к сопротивлению потерь. Иначе говоря, на данной частоте более добротным будет контур с меньшей емкостью и большей индуктивностью. Как же тогда соотносится добротность контура с конструктивной добротностью катушки? Чтобы понять это, следует иметь ввиду, что характеристическое сопротивление контура численно равно модулю реактивного сопротивления индуктивности или емкости на резонансной частоте. Последние, как известно, в этом случае равны и отличаются лишь знаком. Если мы пренебрежем потерями в конденсаторе, тогда формула [8] сводится к формуле [1]. Ведь на резонансной частоте ρ = |XL|, а в сумме RΣ = RL + RC, последнее слагаемое мы не учитываем. Другими словами, если пренебречь потерями в конденсаторе, то добротность контура равна конструктивной добротности катушки. В итоге мы приходим к выводу, что формулы [1] и [8] в этом случае эквивалентны. Если же нам необходимо учесть потери в конденсаторе, то следует использовать формулу [6].

Необходимо отметить два важных момента:

  1. Coil32 рассчитывает конструктивную добротность для «голой катушки в вакууме». Наличие экрана увеличивает распределенную емкость и уменьшает индуктивность. Характеристическое сопротивление контура падает, добротность уменьшается. Кроме этого добавляются потери на вихревые токи в экране. Каркас катушки также снижает ее добротность и добротность контура соответственно.
  2. Добротность катушки растет с ростом частоты только на «низких» частотах, далеких от частоты собственного резонанса катушки. При приближении к собственному резонансу добротность достигает максимума на частотах 60-85% от Fsrf и затем плавно снижается. Это происходит от того, что на этих частотах начинает проявлятся зависимость индуктивности и собственной емкости катушки от частоты.

Амплитудно-частотная характеристика имеет такой же вид, как и резонансная кривая последовательного контура; ФЧХ представляет собой зеркальное отображение ФЧХ последовательного контура.

Важно понятие полоса пропускания контура Это частотный интервал в пределах которого импеданс Z вх не ниже 1 ⁄ √ 2 (или 0,707) от максимального на резонансной частоте. Справедлива следующая формула, которую можно использовать для измерения добротности:

Q = f /Δf [9]

В практике представляет интерес величина ослабления контуром нежелательных частот:

Для расстроек более трех полос пропускания формула упрощается:

где знак не учитывается.

В реальной схеме контур связан с источником колебаний и нагрузкой, которые вносят в него дополнительные потери, снижающие добротность. Эквивалентная добротность Q параллельного колебательного контура :

  • Q — добротность ненагруженного контура
  • Ri — входное сопротивление источника
  • Rэ — эквивалентное сопротивление ненагруженного котура

Эту формулу можно использовать для учета влияния любых подключенных к контуру сопротивлений (например, нагрузки) на его добротность.

Для уменьшения влияния внешних цепей, а также для трансформации сопротивлений применяют частичное включение нагрузки в контур

Как видно из рисунка это можно сделать различными способами, отводом от катушки, с помощью катушки связи, емкстным делителем. Тогда выходное сопротивление контура:
R вых = p 2 R э
где p коэффициент связи. Для емкостного делителя:
p = C 1 ⁄ (C 1 + C 2 )
Для индуктивной связи:
p = M ⁄ L
где M — полная взаимоиндуктивность между L c и L (это относится как к случаю с отводом катушки так и к случаю с катушкой связи). Следует отметить, что коэффициент связи не равен отношению числа витков, как в трансформаторе, поскольку каждый виток катушки L c пересекается не всеми силовыми линиями катушки контура вследствие рассеяния магнитного поля.
При подключении внешней нагрузки к контуру с помощью частичного включения, результирующая добротность определяется:
Q = Q ·R u ⁄ (R э + R u )

R u = p 2 R i (R i – внешняя нагрузка)

Следует отметить, что для максимального коэффициента передачи электромагнитной энергии, выходное сопротивление контура должно быть равно сопротивлению нагрузки. Все вышесказанное справедливо и в случае согласования контура с источником сигнала.

Источник



Ток в параллельном rlc контуре

последовательная RLC-цепь

параллельная RLC-цепь

Выведем дифференциальное уравнение, описывающее закон изменения тока в последовательной \(RLC\)-цепи .

Напряжения \(,,,\) соответственно, на резисторе \(R,\) конденсаторе \(C\) и катушке индуктивности \(L\) выражаются формулами \[ <\left( t \right) = RI\left( t \right),>\;\; <\left( t \right) = \frac<1>\int\limits_0^t ,>\;\; <\left( t \right) = L\frac<><

Читайте также:  Пищеварение в током кишечнике
>.> \] Из второго закона Кирхгофа следует, что \[\left( t \right) + \left( t \right) + \left( t \right) = E\left( t \right),\] где \(E\left( t \right)\) − электродвижущая сила (э.д.с.) источника питания.

В случае постоянной э.д.с. \(E\) после подстановки выражений для \(,\) и \(,\) и последующего дифференцирования получаем следующее дифференциальное уравнение: \[\frac<<I\left( t \right)>><>> + \frac\frac<><

> + \frac<1><>I\left( t \right) = 0.\] Если ввести обозначения \(2\beta = <\large\frac\normalsize>,\;\omega _0^2 = <\large\frac<1><>\normalsize>,\) то уравнение записывается в виде \[\frac<<I>><>> + 2\beta \frac<><
> + \omega _0^2I = 0.\] Данное дифференциальное уравнение совпадает с уравнением, описывающим затухающие колебания грузика на пружинке . Следовательно, в последовательной \(RLC\)-цепи при определенных значениях параметров также могут возникать затухающие колебания.

Теперь рассмотрим параллельную \(RLC\)-цепь и выведем для нее аналогичное дифференциальное уравнение.

По первому закону Кирхгофа полный ток будет равен сумме токов через сопротивление \(R,\) катушку индуктивности \(L\) и конденсатор \(C\) (рисунок \(2\)): \[\left( t \right) + \left( t \right) + \left( t \right) = I\left( t \right).\] Учитывая, что \[ <= \frac,>\;\;\; <= \frac<1>\int\limits_0^t ,>\;\;\; <= C\frac<><

>,> \] для случая постоянного полного тока \(I\left( t \right) = \) получаем следующее дифференциальное уравнение \(2\)-го порядка относительно переменной \(V:\) \[ <\frac + \frac<1>\int\limits_0^t + C\frac<><
> = ,>\;\; <\Rightarrow C\frac<<V>><>> + \frac<1>\frac<><
> + \frac<1>V = 0.> \] Как видно, мы снова приходим к уравнению, описывающему затухающие колебания. Таким образом, колебательный режим может возникать и в параллельных \(RLC\)-цепях .

Выше мы получили дифференциальное уравнение второго порядка, описывающее затухающие колебания в последовательном \(RLC\)-контуре , которое записывается как \[\frac<<I>><>> + \frac\frac<><

> + \frac<1><>I = 0.\] Соответствующее характеристическое уравнение имеет вид \[ <\lambda ^2>+ \frac\lambda + \frac<1><> = 0.\] Его корни вычисляются по формулам: \[ <<\lambda _<1,2>> = \frac<< - \frac \pm \sqrt <\frac<<>><<>> — \frac<4><>> >> <2>> = < - \frac<<2L>> \pm \sqrt <<<\left( <\frac<<2L>>> \right)>^2> — \frac<1><>> > = < - \beta \pm \sqrt <<\beta ^2>— \omega _0^2> ,> \] где величина \(\beta = \large\frac<<2L>>\normalsize\) называется коэффициентом затухания , а \(<\omega_0>\) − резонансной частотой колебательного контура.

В зависимости от значений параметров \(R, L, C\) могут возникнуть три режима.

три режима затухания электрических колебаний

определение ширины резонансной кривой

Если колебательный контур содержит генератор с периодически изменяющейся э.д.с., то в нем устанавливаются вынужденные колебания . Если э.д.с. \(E\) источника тока изменяется по закону \[E\left( t \right) = \cos \omega t,\] то дифференциальное уравнение вынужденных колебаний в последовательной \(RLC\)-цепи записывается в виде \[ <\frac<<q\left( t \right)>><>> + \frac\frac<><

> + \frac<1><>q\left( t \right) = \frac<1>\cos \omega t>\;\; <\text<или>\;\;\frac<<q>><>> + 2\beta \frac<><
> + \omega _0^2q = \frac<<>>\cos \omega t,> \] где \(q\) − заряд конденсатора, \(2\beta = \frac,\;\omega _0^2 = \frac<1><>.\)

Данное уравнение аналогично уравнению вынужденных колебаний пружинного маятника, рассмотренного на странице Механические колебания . Его общее решение представляет собой сумму двух слагаемых − общего решения однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения. При этом общее решение однородного уравнения описывает затухающий переходный процесс, по истечении которого в системе устанавливаются вынужденные колебания . Эти вынужденные колебания будут происходить по закону \[ = <\frac<<>><> \right)>^2> + 4<\beta ^2><\omega ^2>> >>\cos \left( <\omega t + \varphi >\right) > = <\frac<<>> <<\omega \sqrt <+ <<\left( <\omega L - \frac<1><<\omega C>>> \right)>^2>> >>\cos \left( <\omega t + \varphi >\right),> \] где фаза \(\varphi\) определяется формулой \[ <\varphi = \arctan \left( < - \frac<<2\beta \omega >><<\omega _0^2 - <\omega ^2>>>> \right) > = <\arctan \frac<<\omega L - \frac<1><<\omega C>>>>.> \] Зная закон изменения заряда \(q\left( t \right),\) легко найти закон изменения тока \(I\left( t \right):\) \[ ><

> > = < - \frac<<>> <<\sqrt <+ <<\left( <\omega L - \frac<1><<\omega C>>> \right)>^2>> >>\sin\left( <\omega t + \varphi >\right) > = <\frac<<>> <<\sqrt <+ <<\left( <\omega L - \frac<1><<\omega C>>> \right)>^2>> >>\cos\left( <\omega t - \theta >\right),> \] где введен угол \(\theta,\) равный \(\theta = — \left( <\varphi + \frac<\pi ><2>> \right).\) Угол \(\theta\) показывает отставание колебаний тока \(I\left( t \right)\) по отношению к колебаниям напряжения источника питания \(E\left( t \right) = \cos \omega t.\)

Амплитуда тока \(\) и сдвиг фаз \(\theta\) определяются формулами \[ <= \frac<<>> <<\sqrt <+ <<\left( <\omega L - \frac<1><<\omega C>>> \right)>^2>> >> = \frac<<>>,>\;\;\; <\theta = \arctan \frac<<\omega L - \frac<1><<\omega C>>>>.> \] Величина \(Z = \sqrt <+ <<\left( <\omega L - \large\frac<1><<\omega C>>\normalsize> \right)>^2>> \) называется полным сопротивлением или импедансом контура. Она состоит из омического сопротивления \(R\) и реактивного сопротивления \(<\omega L - \large\frac<1><<\omega C>>>\normalsize\) Импеданс колебательного контура в комплексной форме записывается как \[Z = R + i\left( <\omega L - \frac<1><<\omega C>>> \right).\] Из полученных формул видно, что амплитуда установившихся колебаний тока будет максимальной когда \[\omega L = \frac<1><<\omega C>>\;\;\text<или>\;\;\omega = <\omega _0>= \frac<1> <<\sqrt >>.\] При этом условии в колебательном контуре наступает резонанс . Резонансная частота \(<\omega_0>\) равна частоте свободных колебаний в контуре и не зависит от сопротивления \(R.\)

зависимость амплитуды тока установившихся колебаний от отношения частот при разных значениях сопротивления

зависимость амплитуды тока установившихся колебаний от отношения частот при разных значениях емкости

Резонансные свойства колебательного контура характеризуются добротностью \(Q,\) которая численно равна отношению резонансной частоты \(<\omega_0>\) к ширине резонансной кривой \(\Delta\omega\) на уровне убывания амплитуды в \(\sqrt 2\) раз (см. выше рисунок \(4\)).

В последовательном колебательном контуре добротность вычисляется по формуле \[Q = \frac<1>\sqrt <\frac> .\] Для параллельной \(RLC\)-цепи добротность определяется обратным выражением: \[Q = R\sqrt <\frac> .\]

Закон изменения тока в цепи \(I\left( t \right)\);

Закон изменения напряжения на резисторе \(\left( t \right)\) и на катушке индуктивности \(\left( t \right)\).

Последовательная \(RL\)-цепь описывается дифференциальным уравнением \[L\frac<><

> + RI = .\] В соответствии с общей теорией, решением данного уравнения является сумма общего решения однородного уравнения \(\) и частного решения неоднородного уравнения \(:\) \(I = + .\) Общее решение однородного уравнения \[L\frac<><
> + RI = 0\] выражается функцией \[\left( t \right) = At>>,\] где \(A\) − постоянная интегрирования.

Решение неоднородного уравнения \(\) соответствует установившемуся режиму, при котором ток в цепи определяется лишь омическим сопротивлением \(R:\) \( = \frac<<>>.\) Тогда полный ток будет изменяться по закону \[I\left( t \right) = + = At>> + \frac<<>>.\] Постоянная \(A\) определяется из начального условия \(I\left( \right) = 0.\) Следовательно, \[ <0 = A \cdot 0>> + \frac<<>>,>\;\; <\Rightarrow A = - \frac<<>>.> \] Итак, после замыкания цепи ток будет изменяться по закону \[ >>t>> + \frac<<>> > = <\frac<<>>\left( <1 - t>>> \right) > = <\frac<<200>><<100>>\left( <1 - ><<50>>t>>> \right) > = <2\left( <1 - >> \right)\;\left[ \text \right].> \] График \(I\left( t \right)\) показан на рисунке \(7.\)

изменение тока в RL-цепи

изменение напряжения на резисторе и катушке индуктивности RL-цепи

Закон изменения тока в цепи \(I\left( t \right)\);

Закон изменения напряжения на резисторе \(\left( t \right)\) и конденсаторе \(\left( t \right)\).

Эта задача похожа на предыдущую и отличается от нее лишь типом электрической цепи. В данной задаче рассматривается \(RC\)-цепь.

Согласно \(2\)-му закону Кирхгофа \[\left( t \right) + \left( t \right) = ,\] где напряжение на резисторе равно \[\left( t \right) = I\left( t \right)R = RC\frac<>><

>.\] В результате получаем следующее дифференциальное уравнение для описания переходного процесса в \(RC\)-цепи: \[RC\frac<>><
> + = .\] Решение этого уравнения представляется в виде суммы общего решения однородного уравнения \(V_\text<одн>\) и частного решения неоднородного уравнения \(.\) Однородное уравнение имеет общее решение в виде \[ >><
> + = 0,>\;\; <\Rightarrow \frac<>><
> = — \frac<1><>,>\;\; <\Rightarrow \int <\frac<>><<>>> = — \frac<1><>\int

,>\;\; <\Rightarrow \ln = — \frac<>,>\;\; <\Rightarrow > = A<>\normalsize>>,> \] где \(A\) − постоянная интегрирования, зависящая от начального условия.

Частное решение неоднородного уравнения соответствует установившемуся режиму, при котором \(<\large\frac<>><

>\normalsize> = 0.\) Тогда напряжение на резисторе будет равно нулю и все напряжение будет приложено к конденсатору, то есть \( = .\) Таким образом, изменение напряжения на конденсаторе описывается выражением \[\left( t \right) = A<>\normalsize>> + .\] С учетом начального условия \(\left( \right) = 0\) находим постоянную \(A:\) \[0 = A \cdot 1 + ,\;\; \Rightarrow A = — .\] Следовательно, закон изменения напряжения на конденсаторе будет выглядеть так: \[ <\left( t \right) = — <>\normalsize>> + > = <\left( <1 - <>\normalsize>>> \right) > = <200\left( <1 - >> \right)\;\left[ \text <В>\right].> \] Напряжение на резисторе определяется формулой \[ <\left( t \right) = RC\frac<>><
> > = \frac<
>\left( <1 - <>\normalsize>>> \right) > = <\cancel \cdot \frac<1><\cancel><>\normalsize>> > = <<>\normalsize>> = 200>\;\left[ \text <В>\right].> \] Ток в \(RC\)-цепи будет изменяться по закону \[ I\left( t \right) = \frac<<\left( t \right)>> = \frac<<>><>\normalsize>> = \frac<<200>><<100>>> = 2>\;\left[ \text \right]. \] Графики изменения напряжений \(\left( t \right),\) \(\left( t \right)\) и тока \(I\left( t \right)\) показаны на рисунках \(9\) и \(10.\)

Источник