Меню

Решение задач по цепям несинусоидального тока

4.2 Примеры расчета схем при несинусоидальных периодических воздействиях

Примеры расчета схем при несинусоидальных периодических воздействиях

Задача 4.1 К генератору с несинусоидальным периодическим напряжением подключена цепь, состоящая из последовательного соединения активного сопротивления, индуктивности и емкости.

Написать уравнение тока в цепи, если напряжение генератора может быть выражено уравнением

u ( t ) = 40 + 120 sin 1000 t + 60 sin ( 2000 t − π 6 ) + 50 sin ( 5000 t − π 3 ) , В .

Найти действующее значение напряжения на конденсаторе и мощность, расходуемую в цепи, где R = 50 Ом, L = 0,05 Гн, C = 5 мкФ.

Решение В последовательном соединении имеется конденсатор, поэтому ток постоянной составляющей содержать не будет! Амплитуды гармонических составляющих определяются по формуле

I m ( k ) = U m ( k ) Z ( k ) ,

Z ( k ) = R 2 + ( X L ( k ) − X C ( k ) ) 2 = R 2 + ( k ω L − 1 k ω C ) 2 .

Фазовый сдвиг гармоники тока относительно соответствующего напряжения из треугольника сопротивлений

t g φ ( k ) = X ( k ) R = X L ( k ) − X C ( k ) R = k ω L − 1 k ω C R .

Напряжение на конденсаторе дается выражением

U C = U 0 C 2 + [ U C ( 1 ) ] 2 + [ U C ( 2 ) ] 2 + [ U C ( 5 ) ] 2 .

Уравнение тока в цепи имеет вид

i ( t ) = 0,76 sin ( 1000 t + 71,6 ° ) + 1,2 sin ( 2000 t − 30 ° ) − 0,23 sin ( 5000 t + 43,4 ° ) , А .

Расчет дает следующие значения

UC = 143 В; P = 51,8 Вт.

Задача 4.2 На вход схемы (рис. 4.1)

Рис. 4.1 На вход схемы подано напряжение от идеального двухполупериодного выпрямителя

с параметрами R1 = 100 Ом, R2 = 600 Ом, ωL = 3000 Ом; 1/(ωC) = 20 Ом подано напряжение от идеального двухполупериодного выпрямителя с частотой ω (рис. 4.2).

Рис. 4.2 Напряжение от идеального двухполупериодного выпрямителя

Найти входной ток i(t).
Вычислить для переменной составляющей приложенного напряжения коэффициенты формы, искажения, амплитуды.

Решение Ряд Фурье исходного напряжения находим по справочной литературе. Ограничимся четырьмя гармониками

u ( t ) = 4 U m π ( 1 2 + 1 3 cos 2 ω t − 1 3 ⋅ 5 cos 4 ω t + 1 5 ⋅ 7 cos 6 ω t ) .

Гармонические составляющие изменяются по косинусоидальному закону с нулевой фазой

U m ( 2 ) = 4 U m 3 π ; U m ( 4 ) = − 4 U m 3 ⋅ 5 π ; U m ( 6 ) = − 4 U m 5 ⋅ 7 π .

Входное комплексное сопротивление k-ой гармоники Z ( k ) определяется из выражения

Z _ ( k ) = R 1 + j k ω L + R 2 ⋅ ( − j 1 k ω C ) R 2 + ( − j 1 k ω C ) = 100 + j k 3000 + − j 600 ⋅ 20 k 600 − j 20 k ( О м ) .

Определим составляющие входного тока.

Рис. 4.3 Схема замещения цепи для определения постоянной составляющей тока

Постоянная составляющая (k = 0) (см. рис. 4.3)

I 0 = U 0 R 1 + R 2 = 4 U m 2 π ⋅ 700 .

Для второй гармоники (k = 2) комплексная амплитуда входного тока

I ? m ( 2 ) = U ? m ( 2 ) Z _ ( 2 ) ,

Z _ ( 2 ) = R 1 + j 2 ω L + R 2 ⋅ ( − j 1 2 ω C ) R 2 + ( − j 1 2 ω C ) = 100 + j 6000 + − j 6000 600 − j 10 ≈ j 6000 О м .

Аналогично, для четвертой гармоники (k = 4)

I ? m ( 4 ) = U ? m ( 4 ) Z _ ( 4 ) ; Z _ ( 4 ) = 100 + j 12000 + − j 3000 600 − j 5 ≈ j 12000 О м .

Для шестой гармоники (k = 6)

I ? m ( 6 ) = U ? m ( 6 ) Z _ ( 6 ) ; Z _ ( 6 ) = 100 + j 18000 + − j 2000 600 − j 20 / 6 ≈ j 18000 О м .

Мгновенное значение входного тока для четырех гармоник дается выражением

i ( t ) = I 0 + i ( 2 ) ( t ) + i ( 4 ) ( t ) + i ( 6 ) ( t ) .

После подстановки выражение примет вид

i ( t ) = 4 U m π ( 1 1,4 + 1 18 cos ( 2 ω t − 90 ° ) − 1 180 cos ( 4 ω t − 90 ° ) + 1 630 cos ( 6 ω t − 90 ° ) ) ⋅ 10 − 3 .

Вычислим для переменной составляющей приложенного напряжения коэффициенты формы, искажения, амплитуды.

Действующее значение входного напряжения

U = U 0 2 + [ U ( 1 ) ] 2 + [ U ( 2 ) ] 2 + . + [ U ( k ) ] 2 + . ≈ = U 0 2 + [ U ( 2 ) ] 2 + [ U ( 4 ) ] 2 + [ U ( 6 ) ] 2 = = U 0 2 + [ U m ( 2 ) ] 2 + [ U m ( 4 ) ] 2 + [ U m ( 6 ) ] 2 2 = = 0,6366 2 + 0,4244 2 + 0,0849 2 + 0,0364 2 2 ⋅ U m = 0,707 ⋅ U m .

Для двухполупериодного выпрямления:

k ф = U U с р . в ы п р = U U 0 = 0,707 ⋅ U m 0,637 ⋅ U m = 1,11 ;

k а = U max U = U m 0,707 ⋅ U m = 1,41 ;

k и = U ( 2 ) U = U m ( 2 ) 2 U = 0,3 ⋅ U m 0,707 ⋅ U m = 0,425.

Задача 4.3 Для линейной электрической цепи (рис. 4.4), подключенной к периодическому несинусоидальному напряжению, необходимо:

1. Разложить входное напряжение u(t) в ряд Фурье.

2. Рассчитать мгновенные значения токов ветвей цепи.

3. Определить показания электродинамических амперметра и вольтметра.

4. Найти активную мощность, отдаваемую источником.

5. Вычислить для переменной составляющей приложенного напряжения коэффициенты формы, искажения, амплитуды.

6. Построить кривую выходного напряжения и определить его действующее значение.

Рис. 4.4 Линейная электрическая цепь, подключенная к периодическому несинусоидальному напряжению

f = 300 Гц; ω = 1884 с –1 ; L1 = 0,02 Гн; L2 = 0,002 Гн; R = 90 Ом; C1 = 10 мкФ = 10·10 –6 Ф; C2 = 50 мкФ = 50·10 –6 Ф; Um = 110 В,

Решение Разложим входное напряжение в ряд Фурье и запишем его первые четыре составляющие.

Для нахождения членов ряда Фурье воспользуемся формулами

f ( t ) = a 0 2 + ∑ n = 1 ∞ ( a n cos n ω t + b n sin n ω t ) = A 0 + ∑ n = 1 ∞ A n cos ( n ω t − φ n ) ,

где среднее значение функции за период или постоянная составляющая, называемая нулевой гармоникой,

A 0 = a 0 2 = 1 T ∫ t 0 t 0 + T f ( t ) d t ;

амплитуды косинусоидальных и синусоидальных составляющих соответственно

a n = 2 T ∫ t 0 t 0 + T f ( t ) cos n ω t d t , b n = 2 T ∫ t 0 t 0 + T f ( t ) sin n ω t d t ;

амплитуда n-й гармоники спектра

A n = a n 2 + b n 2 ;

начальная фаза n-й гармоники

φ n = a r c t g b n a n ;

угловая частота первой гармоники

ω = 2 π f = 2 π T ;

f – циклическая частота первой гармоники спектра или основная частота,

T – период повторения функции f(t),

t – любой произвольно выбранный момент времени (обычно t = 0),

n = 1, 2, 3,… – номер гармоники.

Постоянная составляющая (нулевая гармоника)

U 0 = 1 2 π ∫ 0 2 π u ( ω t ) d ω t = 1 2 π ∫ 0 π U m sin ω t d ω t = − U m cos ω t 2 π | 0 π = U m π .

Амплитуды синусоидальных составляющих напряжения

U m ( k ) = 1 π ∫ 0 2 π u ( ω t ) sin k ω t d ω t = 1 π ∫ 0 2 π U m sin ω t ⋅ sin k ω t d ω t = < U m 2 , k = 1 ; 0, k ≠ 1.

Амплитуды косинусоидальных составляющих напряжения

U m ( k ) = 1 π ∫ 0 2 π u ( ω t ) cos k ω t d ω t = 1 π ∫ 0 2 π U m sin ω t ⋅ cos k ω t d ω t = < 2 U m ( 1 − k 2 ) π , k − ч е т н о е ; 0, k − н е ч е т н о е .

Получили разложение по первым пяти гармоникам входного напряжения

u в х ( t ) ≈ U 0 + u ( 1 ) ( t ) + u ( 2 ) ( t ) + u ( 4 ) ( t ) + u ( 6 ) ( t ) = = U m π + U m 2 sin ω t + ( − 2 U m 3 π ) cos 2 ω t + ( − 2 U m 15 π ) cos 4 ω t + ( − 2 U m 35 π ) cos 6 ω t = = U m π + U m 2 sin ω t + 2 U m 3 π sin ( 2 ω t − π 2 ) + 2 U m 15 π sin ( 4 ω t − π 2 ) + 2 U m 35 π sin ( 6 ω t − π 2 ) .

Комплексное входное сопротивление гармоникам тока

Z _ в х ( 0 ) = ∞ ; I 1 ( 0 ) = I 2 ( 0 ) = I 3 ( 0 ) = 0 ; Z _ в х ( k ) = R + j ( k ω L 1 − 1 k ω C 1 ) + j k ω L 2 ⋅ ( R − j 1 k ω C 2 ) j k ω L 2 + ( R − j 1 k ω C 2 ) ; Z _ в х ( 1 ) = 90,157 − j 11,568 О м = 90,896 ⋅ e − j 7,31 ° О м ; Z _ в х ( 2 ) = 90,631 + j 56,399 О м = 106,747 ⋅ e j 31,89 ° О м ; Z _ в х ( 4 ) = 92,479 + j 152,275 О м = 178,158 ⋅ e j 58,73 ° О м ; Z _ в х ( 6 ) = 95,396 + j 238,728 О м = 257,083 ⋅ e j 68,22 ° О м .

Комплексные амплитуды гармоник входного тока

I ? 1 m ( 1 ) = U ? m ( 1 ) Z _ ( 1 ) = U m 2 Z _ ( 1 ) = 55 90,896 ⋅ e − j 7,31 ° = 0,6051 ⋅ e j 7,31 ° А ; I ? 1 m ( 2 ) = U ? m ( 2 ) Z _ ( 2 ) = 2 U m 3 π ⋅ e − j 90 ° Z _ ( 2 ) = 23,343 ⋅ e − j 90 ° 106,747 ⋅ e j 31,89 ° = 0,2187 ⋅ e − j 121,89 ° А ; I ? 1 m ( 4 ) = U ? m ( 4 ) Z _ ( 4 ) = 2 U m 15 π ⋅ e − j 90 ° Z _ ( 4 ) = 4,669 ⋅ e − j 90 ° 178,158 ⋅ e j 58,73 ° = 0,0262 ⋅ e − j 148,73 ° А ; I ? 1 m ( 6 ) = U ? m ( 6 ) Z _ ( 6 ) = 2 U m 35 π ⋅ e − j 90 ° Z _ ( 6 ) = 2,001 ⋅ e − j 90 ° 257,083 ⋅ e j 68,22 ° = 0,0078 ⋅ e − j 158,22 ° А .

Гармоники тока через катушку индуктивности по формуле разброса токов (делителя токов)

I ? 2 m ( 1 ) = I ? 1 m ( 1 ) ⋅ R − j X C 2 ( 1 ) R + j ( X L 2 ( 1 ) − X C 2 ( 1 ) ) = 0,6075 ⋅ e j 4,93 ° А ; I ? 2 m ( 2 ) = I ? 1 m ( 2 ) ⋅ R − j X C 2 ( 2 ) R + j ( X L 2 ( 2 ) − X C 2 ( 2 ) ) = 0,2190 ⋅ e − j 126,69 ° А ; I ? 2 m ( 4 ) = I ? 1 m ( 4 ) ⋅ R − j X C 2 ( 4 ) R + j ( X L 2 ( 4 ) − X C 2 ( 4 ) ) = 0,0260 ⋅ e − j 158,28 ° А ; I ? 2 m ( 6 ) = I ? 1 m ( 6 ) ⋅ R − j X C 2 ( 6 ) R + j ( X L 2 ( 6 ) − X C 2 ( 6 ) ) = 0,0076 ⋅ e − j 172,39 ° А .

Гармоники тока через емкость по формуле разброса токов (делителя токов)

I ? 3 m ( 1 ) = I ? 1 m ( 1 ) ⋅ j X L 2 ( 1 ) R + j ( X L 2 ( 1 ) − X C 2 ( 1 ) ) = 0,0253 ⋅ e j 101,66 ° А ; I ? 3 m ( 2 ) = I ? 1 m ( 2 ) ⋅ j X L 2 ( 2 ) R + j ( X L 2 ( 2 ) − X C 2 ( 2 ) ) = 0,0183 ⋅ e j 33,32 ° А ; I ? 3 m ( 4 ) = I ? 1 m ( 4 ) ⋅ j X L 2 ( 4 ) R + j ( X L 2 ( 4 ) − X C 2 ( 4 ) ) = 0,0043 ⋅ e − j 66,59 ° А ; I ? 3 m ( 6 ) = I ? 1 m ( 6 ) ⋅ j X L 2 ( 6 ) R + j ( X L 2 ( 6 ) − X C 2 ( 6 ) ) = 0,0019 ⋅ e − j 81,26 ° А .

Читайте также:  Амперметр для измерения силы тока должен включаться в цепь

Мгновенные значения токов ветвей цепи

i 1 ( t ) = 0,605 sin ( ω t + 7,3 ° ) + 0,219 sin ( 2 ω t − 121,9 ° ) + + 0,026 sin ( 4 ω t − 148,7 ° ) + 0,0078 sin ( 6 ω t − 158,2 ° ) А ; i 2 ( t ) = 0,608 sin ( ω t + 4,9 ° ) + 0,219 sin ( 2 ω t − 126,7 ° ) + + 0,026 sin ( 4 ω t − 158,3 ° ) + 0,0076 sin ( 6 ω t − 172,4 ° ) А ; i 3 ( t ) = 0,0253 sin ( ω t + 101,7 ° ) + 0,0183 sin ( 2 ω t − 33,3 ° ) + + 0,0043 sin ( 4 ω t − 66,6 ° ) + 0,0019 sin ( 6 ω t − 81,3 ° ) А .

Комплексные амплитуды гармоник напряжений

U ? в ы х m ( 0 ) = U ? L 2 m ( 0 ) = 0 ; U ? в ы х m ( 1 ) = U ? L 2 m ( 1 ) = j X L 2 m ( 1 ) ⋅ I 2 m ( 1 ) = j 1885 ⋅ 0,002 ⋅ 0,6075 ⋅ e j 4,93 ° = 2,290 ⋅ e j 94,93 ° В ; U ? в ы х m ( 2 ) = U ? L 2 m ( 2 ) = j X L 2 m ( 2 ) ⋅ I 2 m ( 2 ) = j 2 ⋅ 1885 ⋅ 0,002 ⋅ 0,2190 ⋅ e − j 126,69 ° = 1,651 ⋅ e − j 36,69 ° В ; U ? в ы х m ( 4 ) = U ? L 2 m ( 4 ) = j X L 2 m ( 4 ) ⋅ I 2 m ( 4 ) = j 4 ⋅ 1885 ⋅ 0,002 ⋅ 0,0260 ⋅ e − j 158,28 ° = 0,392 ⋅ e − j 68,28 ° В ; U ? в ы х m ( 6 ) = U ? L 2 m ( 6 ) = j X L 2 m ( 6 ) ⋅ I 2 m ( 6 ) = j 6 ⋅ 1885 ⋅ 0,002 ⋅ 0,0076 ⋅ e − j 172,39 ° = 0,172 ⋅ e − j 82,39 ° В .

Определим показания электродинамических амперметра и вольтметра

I A = [ I 3 m ( 1 ) ] 2 + [ I 3 m ( 2 ) ] 2 + [ I 3 m ( 4 ) ] 2 + [ I 3 m ( 6 ) ] 2 2 = 0,022 А ; U V = [ U L 2 m ( 1 ) ] 2 + [ U L 2 m ( 2 ) ] 2 + [ U L 2 m ( 4 ) ] 2 + [ U L 2 m ( 6 ) ] 2 2 = 2,02 В .

Найдем активную мощность, отдаваемую источником,

P и с т = P и с т ( 0 ) + P и с т ( 1 ) + P и с т ( 2 ) + P и с т ( 4 ) + P и с т ( 6 ) = = U 0 I 1 ( 0 ) + U ( 1 ) I 1 ( 1 ) cos φ ( 1 ) + U ( 2 ) I 1 ( 2 ) cos φ ( 2 ) + U ( 4 ) I 1 ( 4 ) cos φ ( 4 ) + U ( 6 ) I 1 ( 6 ) cos φ ( 6 ) = = 0 + 16,5 + 2,17 + 0,03 + 0,003 = 18,7 В т ,

где сдвиг фаз между током и напряжением гармоник

φ ( k ) = φ U в х ( k ) − φ I 1 ( k ) .

Активная мощность нагрузки

P н а г р = I 1 2 ⋅ R + I 3 2 ⋅ R = = 0,455 2 ⋅ 90 + 0,022 2 ⋅ 90 = 18,7 В т .

где действующие значения токов

I 1 = I 1 ( 0 ) + I 1 ( 1 ) + I 1 ( 2 ) + I 1 ( 4 ) + I 1 ( 6 ) = 0,455 А ; I 3 = I A = 0,022 А .

Численный расчет баланса мощностей

Вычислим для переменной составляющей приложенного напряжения коэффициенты формы, искажения, амплитуды.

Действующее значение входного напряжения

U = U 0 2 + [ U ( 1 ) ] 2 + [ U ( 2 ) ] 2 + . + [ U ( k ) ] 2 + . ≈ = U 0 2 + [ U ( 1 ) ] 2 + [ U ( 2 ) ] 2 + [ U ( 4 ) ] 2 + [ U ( 6 ) ] 2 = = U 0 2 + [ U m ( 1 ) ] 2 + [ U m ( 2 ) ] 2 + [ U m ( 4 ) ] 2 + [ U m ( 6 ) ] 2 2 = = 35,014 2 + 55 2 + 23,343 2 + 4,669 2 + 2,001 2 2 = 54,99 В .

Для однополупериодного выпрямления:

k ф = U U с р . в ы п р = 55,0 35,0 = 1,57 ;

k а = U max U = 110 55 = 2 ;

k и = U ( 1 ) U = U m ( 1 ) 2 U = 38,9 55,0 = 0,707.

И, наконец, по полученному в ходе решения аналитическому выражению для выходного напряжения, построим график его изменения (рис. 4.5)

u в ы х ( t ) = 2,290 sin ( ω t + 94,9 ° ) + 1,651 sin ( 2 ω t − 36,7 ° ) + + 0,392 sin ( 4 ω t − 68,3 ° ) + 0,172 sin ( 6 ω t − 82,4 ° ) В .

Рис. 4.5 График несинусоидального периодического выходного напряжения

Задача 4.4 К генератору с напряжением

u ( t ) = 30 + 120 sin 1000 t + 60 sin ( 2000 t + π 4 ) + 40 sin ( 4000 t + π 6 ) В ,

подключена цепь, собранная по схеме рис. 4.6.

Рис. 4.6 Схема цепи, подключенной к генератору напряжения

Найти показания трех амперметров электродинамической системы.

Параметры элементов цепи: L1 = 40 мГн, C1 = 25 мкФ, R =30 Ом, L2 = 10 мГн, C2 = 6,25 мкФ.

Решение Расчет цепи производим, начиная с постоянной составляющей. Ток постоянной составляющей проходит через катушку L1, активное сопротивление R и катушку L2. Ограничен он только сопротивлением R. Следовательно, постоянная составляющая тока (ток нулевой гармоники)

I 0 = U 0 R = 30 30 = 1 А .

Находим сопротивление элементов цепи первой гармонике

X L 1 ( 1 ) = ω L 1 = 1000 ⋅ 40 ⋅ 10 − 3 = 40 О м ; X C 1 ( 1 ) = 1 ω C 1 = 10 6 1000 ⋅ 25 = 40 О м .

Дальнейшее определение сопротивлений элементов цепи первой гармонике не имеет смысла, так как оказалось, что первый контур настроен на частоту первой гармоники и поэтому его общее сопротивление первой гармонике равно бесконечности (резонанс токов) и напряжение первой гармоники приложено к первому контуру. Ток первой гармоники будет циркулировать только в первом контуре и не пойдет ни через амперметр А1, ни через амперметр А3.

Действующее значение тока первой гармоники через второй амперметр

I 2 ( 1 ) = U 1 ( 1 ) X C 1 ( 1 ) = U ( 1 ) X C 1 ( 1 ) = 120 2 40 = 2,12 А .

Находим теперь сопротивления элементов цепи второй гармонике

X L 1 ( 2 ) = 2 ω L 1 = 2 X L 1 ( 1 ) = 2 ⋅ 40 = 80 О м ; X C 1 ( 2 ) = 1 2 ω C 1 = X C 1 ( 1 ) 2 = 40 2 = 20 О м ; X L 2 ( 2 ) = 2 ω L 2 = 2 ⋅ 1000 ⋅ 10 ⋅ 10 − 3 = 20 О м ; X C 2 ( 2 ) = 1 2 ω C 2 = 10 6 2 ⋅ 1000 ⋅ 6,25 = 80 О м .

Сопротивление всей цепи второй гармонике

Z _ ( 2 ) = Z _ 1 ( 2 ) + R + Z _ 2 ( 2 ) = j X L 1 ( 2 ) ⋅ ( − j X C 1 ( 2 ) ) j X L 1 ( 2 ) + ( − j X C 1 ( 2 ) ) + R + j X L 2 ( 2 ) ⋅ ( − j X C 2 ( 2 ) ) j X L 2 ( 2 ) + ( − j X C 2 ( 2 ) ) = = j 80 ⋅ ( − j 20 ) j 80 + ( − j 20 ) + 30 + j 20 ⋅ ( − j 80 ) j 20 + ( − j 80 ) = − j 27,6 + 30 + j 27,6 = 30 О м

чисто активное, то есть на частоте второй гармоники в цепи имеет место резонанс напряжений.

Неразветвленный ток второй гармоники в цепи

I 1 ( 2 ) = U ( 2 ) Z ( 2 ) = 60 2 30 = 1,41 А .

Падение напряжения на первом контуре

U 1 ( 2 ) = I 1 ( 2 ) ⋅ Z 1 ( 2 ) = 1,41 ⋅ 26,7 = 37,65 В .

Ток второй гармоники через второй амперметр

I 2 ( 2 ) = U 1 ( 2 ) X C 1 ( 2 ) = 37,65 20 = 1,88 А .

Параметры цепи заданы такими, что ток второй гармоники через третий амперметр оказался равным той же величине

U 2 ( 2 ) = I 1 ( 2 ) ⋅ Z 2 ( 2 ) = 1,41 ⋅ 26,7 = 37,65 В ; I 3 ( 2 ) = U 2 ( 2 ) X L 2 ( 2 ) = 37,65 20 = 1,88 А .

Сопротивление цепи четвертой гармонике равно бесконечности, так как второй контур настроен на частоту четвертой гармоники

X L 2 ( 4 ) = 4 X L 2 ( 1 ) = 4 ⋅ 10 = 40 О м ; X C 2 ( 4 ) = X C 2 ( 1 ) 4 = 160 4 = 40 О м .

Поэтому ток четвертой гармоники будет проходить только через третий амперметр второго контура

I 3 ( 4 ) = U 2 ( 4 ) X L 2 ( 4 ) = U ( 4 ) X L 2 ( 4 ) = 40 2 40 = 0,71 А .

Найденные действующие значения токов отдельных гармоник через амперметры и показания этих амперметров, определенные по формуле

I = I 0 2 + [ I ( 1 ) ] 2 + [ I ( 2 ) ] 2 + [ I ( 4 ) ] 2 + .

и выраженные в амперах, приведены в таблице 4.1.

Таблица 4.1 – Действующие значения токов отдельных гармоник через амперметры и показания этих амперметров

Источник

Расчет линейной электрической цепи при периодических несинусоидальных напряжениях и токах

Цепь, изображенная на рис. 1 подключена к зажимам источника с периодической несинусоидальной ЭДС. Графики функций е(ωt) и их разложение в ряд Фурье представлены на рис. 2. Период функции е(ωt) составляет Т = 0,02 с. Амплитуда ЭДС Еm и параметры элементов цепи приведены ниже.
Ограничившись вычислением первых трех гармоник ряда Фурье, необходимо:

  1. Записать уравнение мгновенного значения для заданной периодической несинусоидальной ЭДС е =ft) и определить ее действующее значение.
  2. Рассчитать составляющие несинусоидального тока в неразветвленном участке цепи, записать уравнение мгновенного значения для тока i= е(ωt) и определить его действующее значение.
  3. Построить графики рассчитанных составляющих тока в неразветвленном участке цепи и результирующую кривую этого тока i=ft), полученную в результате графического сложения его составляющих.
  4. Определить активную, реактивную и полную мощности источника.
  5. Рассчитать коэффициент искажения для несинусоидального тока в неразветвленном участке цепи.


Рис. 1.

Еm = 80 (В), r1 = 8 (Ом), r2 = 7 (Ом), r3 = 3 (Ом), L = 0,016 (Гн), С = 400 (мкФ).

1. Запишем уравнение мгновенного значения для заданной периодической несинусоидальной ЭДС.

Действующее значение несинусоидальной ЭДС:

2. Рассчитаем входное сопротивление цепи:

3. Рассчитаем входное сопротивление цепи каждой гармонике:
(Ом)
(Ом)

(Ом)
4. Комплексные значения тока:

5. Выражение тока, записанного в ряд Фурье:

6. Определим действующее значение тока в неразветвленной части цепи:

7. С помощью программы Mathcad построим графики трех гармоник тока в неразветвленной части цепи и их сумму (ток в неразветвленной части цепи).
Предварительно сдвиги фаз из градусов переведем в радианы. Получим:

Рис. Графики гармоник токов и полный ток в неразветвленной части цепи. По оси абсцисс ωt, рад. По оси ординат ток, А.

Читайте также:  Взаимодействие между двумя элементами токов

8. Определим активную, реактивную и полную мощности источника.

Полная мощность:

Активная мощность:

Реактивная мощность:

9. Рассчитаем коэффициент искажения для несинусоидального тока в неразветвленном участке цепи.

Источник

Решение задач по цепям несинусоидального тока

Предыдущие лекции были посвящены анализу электрических цепей при синусоидальных токах и напряжениях. На практике ЭДС и токи в большей или меньшей степени являются несинусоидальными. Это связано с тем, что реальные генераторы не обеспечивают, строго говоря, синусоидальной формы кривых напряжения, а с другой стороны, наличие нелинейных элементов в цепи обусловливает искажение формы токов даже при синусоидальных ЭДС источников.

На практике к несинусоидальности напряжений и токов следует подходить двояко:

  • в силовой электроэнергетике несинусоидальные токи обусловливают в общем случае дополнительные потери мощности, пульсации момента на валу двигателей, вызывают помехи в линиях связи; поэтому здесь необходимо «всеми силами» поддержание синусоидальных режимов;
  • в цепях автоматики и связи, где несинусоидальные токи и напряжения лежат в основе принципа действия электротехнических устройств, задача наоборот заключается в их усилении и передаче с наименьшими искажениями.

В общем случае характер изменения величин может быть периодическим, почти периодическим и непериодическим. В данном разделе будут рассматриваться цепи только с периодическими переменными.

Периодическими несинусоидальными величинами называются переменные, изменяющиеся во времени по периодическому несинусоидальному закону. Причины возникновения несинусоидальных напряжений и токов могут быть обусловлены или несинусоидальностью источника питания или (и) наличием в цепи хотя бы одного нелинейного элемента. Кроме того, в основе появления несинусоидальных токов могут лежать элементы с периодически изменяющимися параметрами.

В качестве примера на рис. 1,а представлена цепь с нелинейным резистором (НР), нелинейная вольт-амперная характеристика (ВАХ) которого обусловливает несинусоидальную форму тока i в цепи при синусоидальном напряжении u на ее входе (см. рис. 1,б).

Характеристики несинусоидальных величин

Для характеристики несинусоидальных периодических переменных служат следующие величины и коэффициенты (приведены на примере периодического тока):

  1. Максимальное значение — .
  2. Действующее значение — .
  3. Среднее по модулю значение — .
  4. Среднее за период значение (постоянная составляющая) — .
  5. Коэффициент амплитуды (отношение максимального значения к действующему) — .
  6. Коэффициент формы (отношение действующего значения к среднему по модулю) — .
  7. Коэффициент искажений (отношение действующего значения первой гармоники к действующему значению переменной) — .
  8. Коэффициент гармоник (отношение действующего значения высших гармонических к действующему значению первой гармоники) — .

Разложение периодических несинусоидальных
кривых в ряд Фурье

Из математики известно, что всякая периодическая функция , где Т – период, удовлетворяющая условиям Дирихле, может быть разложена в тригонометрический ряд. Можно отметить, что функции, рассматриваемые в электротехнике, этим условиям удовлетворяют, в связи с чем проверку на их выполнение проводить не нужно.

При разложении в ряд Фурье функция представляется следующим образом:

Здесь — постоянная составляющая или нулевая гармоника; — первая (основная) гармоника, изменяющаяся с угловой частотой , где Т – период несинусоидальной периодической функции.

В выражении (1) , где коэффициенты и определяются по формулам

Свойства периодических кривых, обладающих симметрией

Коэффициенты ряда Фурье для стандартных функций могут быть взяты из справочной литературы или в общем случае рассчитаны по приведенным выше формулам. Однако в случае кривых, обладающих симметрией, задача существенно упрощается, поскольку из их разложения выпадают целые спектры гармоник. Знание свойств таких кривых позволяет существенно сэкономить время и ресурсы при вычислениях.

    Кривые, симметричные относительно оси абсцисс.

К данному типу относятся кривые, удовлетворяющие равенству (см. пример на рис. 2). В их разложении отсутствуют постоянная составляющая и четные гармоники, т.е. .

Кривые, симметричные относительно оси ординат.

К данному типу относятся кривые, для которых выполняется равенство (см. пример на рис. 3). В их разложении отсутствуют синусные составляющие, т.е. .

Кривые, симметричные относительно начала координат.

К этому типу относятся кривые, удовлетворяющие равенству (см. пример на рис. 4). При разложении таких кривых отсутствуют постоянная и косинусные составляющие, т.е. .

Действующее значение периодической несинусоидальной переменной

Как было показано выше, действующим называется среднеквадратичное за период значение величины:

При наличии аналитического выражения функции i(t) и возможности взятия интеграла от ее квадрата действующее значение i(t) определяется точно. Однако в общем случае на практике действующее значение переменной определяется на основе информации о действующих значениях конечного ряда гармонических.

Очевидно, что каждый из интегралов от тригонометрических функций в последнем выражении равен нулю. Таким образом,

Аналогичные выражения имеют место для ЭДС, напряжения и т.д.

Мощность в цепях периодического несинусоидального тока

Тогда для активной мощности можно записать

Как было показано при выводе соотношения для действующего значения несинусоидальной переменной, среднее за период значение произведения синусоидальных функций различной частоты равно нулю. Следовательно,

Таким образом, активная мощность несинусоидального тока равна сумме активных мощностей отдельных гармонических:

Аналогично для реактивной мощности можно записать

где Т – мощность искажений, определяемая произведениями действующих значений разнопорядковых гармонических тока и напряжения.

Методика расчета линейных цепей при периодических несинусоидальных токах

Возможность разложения периодических несинусоидальных функций в ряд Фурье позволяет свести расчет линейной цепи при воздействии на нее несинусоидальных ЭДС (или токов) источников к расчету цепей с постоянными и синусоидальными токами в отдельности для каждой гармоники. Мгновенные значения искомых токов и напряжений определяются на основе принципа наложения путем суммирования найденных при расчете гармонических составляющих напряжений и токов. В соответствии с вышесказанным цепь на рис. 5 при воздействии на нее ЭДС

(при расчете спектр рассматриваемых гармоник ограничивается) в расчетном плане представляется суммой цепей на рис. 6.

Тогда, например, для тока в ветви с источником ЭДС, имеем

где каждая к-я гармоника тока рассчитывается символическим методом по своей к-й расчетной схеме. При этом (поверхностный эффект не учитывается) для всех гармоник параметры и С постоянны.

Необходимо помнить, что ввиду различия частот суммировать комплексы различных гармоник недопустимо.

Таким образом, методика расчета линейных цепей при несинусоидальных токах сводится к следующему:

  1. ЭДС и токи источников раскладываются в ряды Фурье.
  2. Осуществляется расчет цепи в отдельности для каждой гармонической.
  3. Искомые величины определяются как алгебраические суммы соответствующих гармонических.
  1. Основы теории цепей: Учеб. для вузов /Г.В.Зевеке, П.А.Ионкин, А.В.Нетушил, С.В.Страхов. –5-е изд., перераб. –М.: Энергоатомиздат, 1989. -528с.
  2. Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники: Электрические цепи. Учеб. для студентов электротехнических, энергетических и приборостроительных специальностей вузов. –7-е изд., перераб. и доп. –М.: Высш. шк., 1978. –528с.
  3. Теоретические основы электротехники. Учеб. для вузов. В трех т. Под общ. ред. К.М.Поливанова. Т.1. К.М.Поливанов. Линейные электрические цепи с сосредоточенными постоянными. –М.: Энергия- 1972. –240с.

Контрольные вопросы

  1. Что является причиной появления несинусоидальных токов и напряжений в электрических цепях?
  2. Какие величины и коэффициенты характеризуют периодические несинусоидальные переменные?
  3. Какие гармонические отсутствуют в спектрах кривых, симметричных относительно: 1) оси абсцисс; 2) оси ординат; 3) начала системы координат?
  4. Достаточно ли для определения величины полной мощности в цепи несинусоидального тока наличие информации об активной и реактивной мощностях?
  5. Для каких цепей справедлива методика расчета цепей несинусоидального тока, основанная на разложении ЭДС и токов источников в ряды Фурье?
  6. Не прибегая к разложению в ряд Фурье, определить коэффициенты амплитуды и формы кривой на рис. 4.

Определить действующее значение напряжения на зажимах ветви с последовательным соединением резистора с и катушки индуктивности с , если ток в ней . Рассчитать активную мощность в ветви.

Ответ: U=218 В; Р=1260 Вт.

Определить действующее значение тока в ветви с источником ЭДС в схеме на рис. 5, если ; .

Источник



Несинусоидальные и нелинейные электрические цепи

Страницы работы

Содержание работы

На рисунке 1 изображена схема трехфазной цепи. Она образована трехфазным генератором, который даёт трёхфазную несинусоидальную систему э.д.с., и равномерной нагрузки. Значения амплитуды э.д.с. фазы А генератора, периода Т и параметров R, L и С даны ниже.

1. Найти мгновенное значение напряжения UAb.

2. Построить график этого напряжения в функции времени.

3. Определить действующее значение этого напряжения.

4. Найти активную Р и полную S мощности трехфазной системы.

ЭДС фазы А генератора

Напряжение между точками

Выполнение задания.

1. Нахождение мгновенного напряжения между точками c и a.

Так как э.д.с. задана графическим путём, то функцию перед расчетом нужно разложить в ряд Фурье, учитывая только первую, третью и пятую гармоники.

Для разложения функции в ряд Фурье используем таблицу разложения кривых. Тогда функция примет вид:

Из начальных данных Еm=65 В, тогда

Расчет производим символическим методом с использованием комплексных амплитуд для каждой гармоники в отдельности.

Первая гармоника образует прямую последовательность чередования фаз, третья —

нулевую, а пятая обратную последовательность.

Предварительно рассчитываем токи, протекающие в электрической цепи:

Находим сопротивление фазы нагрузки :

Комплексы полных сопротивлений линейных проводов:

Комплексы полных сопротивлений нагрузки:

Комплексы полных сопротивлений фазы:

Используя разложение в ряд Фурье заданного вида кривой, имеем комплексные амплитуды э.д.с.:

Комплексы амплитудных значений токов, протекающих по линейным проводам и нагрузке для первой, третьей и пятой гармоники, определяются из закона Ома:

Найдем теперь напряжение между точками A и b

Учитывая то, что напряжение между заданными точками является линейным, то в нем отсутствует третья гармоника, так как напряжения этой гармоники во всех трёх фазах совпадают по фазе и нагрузка равномерная. Значит искомое напряжение содержит только первую и пятую гармоники.

Напряжение между точками A и b будет равно:

Рассчитаем каждую гармонику в отдельности:

Мгновенное значение напряжения между точками A и b:

2.График напряжения

3.Действующее значение напряжения :

4. Расчет активной Р и полной S мощностей трехфазной системы.

Активная мощность трехфазной системы:

Полная мощность трёхфазной системы:S=3UI

Заданная схема состоит из источника синусоидальной ЭДС А, двух линейных активных сопротивлений R1=R2=1000 Ом и нелинейной ёмкости Сн с приведенной кулон- вольтной характеристикой. qm=10 -4 Кл Em=130 B;

Рассчитать и построить зависимости в функции .

Составляем систему уравнений на основании законов Кирхгофа для мгновенных значений:

1. Рассматриваем участок 1-2 кулон-вольтной характеристики.

На данном участке изменяется в пределах .

Согласно кулон-вольтной характеристике, на участке 1-2: uс=uR2=0.

Используя зависимость выражаем .

Интегрируя по времени t , имеем

Определяем постоянную интегрирования С:

для точки 1, значит

для точки 2, , значит

2. Рассматриваем участок 2-3 кулон-вольтной характеристики.

На этом участке изменяется в пределах

Согласно кулон-вольтной характеристики на участке 2-3:

т.е всё напряжение на 1-ом сопротивлении:

Рассчитав промежуточные значения полученных величин, строим их графики в функции .Для построения q(wt) найдём wt2 при q=0 т.е. q=-0.00026cos(500t2)+0.00016=0

Министерство образования Российской Федерации

ГОУ ВПО Алтайский государственный технический университет имени И.И.Ползунова

Кафедра Э и ТОЭ

Типовой расчёт №4

“ Несинусоидальные и нелинейные электрические цепи ”

Студент гр. Э-65 Бабинов Е.С.

Д.т.н., профессор Куликова Л.В.

Похожие материалы

Информация о работе

  • АлтГТУ 419
  • АлтГУ 113
  • АмПГУ 296
  • АГТУ 267
  • БИТТУ 794
  • БГТУ «Военмех» 1191
  • БГМУ 172
  • БГТУ 603
  • БГУ 155
  • БГУИР 391
  • БелГУТ 4908
  • БГЭУ 963
  • БНТУ 1070
  • БТЭУ ПК 689
  • БрГУ 179
  • ВНТУ 120
  • ВГУЭС 426
  • ВлГУ 645
  • ВМедА 611
  • ВолгГТУ 235
  • ВНУ им. Даля 166
  • ВЗФЭИ 245
  • ВятГСХА 101
  • ВятГГУ 139
  • ВятГУ 559
  • ГГДСК 171
  • ГомГМК 501
  • ГГМУ 1966
  • ГГТУ им. Сухого 4467
  • ГГУ им. Скорины 1590
  • ГМА им. Макарова 299
  • ДГПУ 159
  • ДальГАУ 279
  • ДВГГУ 134
  • ДВГМУ 408
  • ДВГТУ 936
  • ДВГУПС 305
  • ДВФУ 949
  • ДонГТУ 498
  • ДИТМ МНТУ 109
  • ИвГМА 488
  • ИГХТУ 131
  • ИжГТУ 145
  • КемГППК 171
  • КемГУ 508
  • КГМТУ 270
  • КировАТ 147
  • КГКСЭП 407
  • КГТА им. Дегтярева 174
  • КнАГТУ 2910
  • КрасГАУ 345
  • КрасГМУ 629
  • КГПУ им. Астафьева 133
  • КГТУ (СФУ) 567
  • КГТЭИ (СФУ) 112
  • КПК №2 177
  • КубГТУ 138
  • КубГУ 109
  • КузГПА 182
  • КузГТУ 789
  • МГТУ им. Носова 369
  • МГЭУ им. Сахарова 232
  • МГЭК 249
  • МГПУ 165
  • МАИ 144
  • МАДИ 151
  • МГИУ 1179
  • МГОУ 121
  • МГСУ 331
  • МГУ 273
  • МГУКИ 101
  • МГУПИ 225
  • МГУПС (МИИТ) 637
  • МГУТУ 122
  • МТУСИ 179
  • ХАИ 656
  • ТПУ 455
  • НИУ МЭИ 640
  • НМСУ «Горный» 1701
  • ХПИ 1534
  • НТУУ «КПИ» 213
  • НУК им. Макарова 543
  • НВ 1001
  • НГАВТ 362
  • НГАУ 411
  • НГАСУ 817
  • НГМУ 665
  • НГПУ 214
  • НГТУ 4610
  • НГУ 1993
  • НГУЭУ 499
  • НИИ 201
  • ОмГТУ 302
  • ОмГУПС 230
  • СПбПК №4 115
  • ПГУПС 2489
  • ПГПУ им. Короленко 296
  • ПНТУ им. Кондратюка 120
  • РАНХиГС 190
  • РОАТ МИИТ 608
  • РТА 245
  • РГГМУ 117
  • РГПУ им. Герцена 123
  • РГППУ 142
  • РГСУ 162
  • «МАТИ» — РГТУ 121
  • РГУНиГ 260
  • РЭУ им. Плеханова 123
  • РГАТУ им. Соловьёва 219
  • РязГМУ 125
  • РГРТУ 666
  • СамГТУ 131
  • СПбГАСУ 315
  • ИНЖЭКОН 328
  • СПбГИПСР 136
  • СПбГЛТУ им. Кирова 227
  • СПбГМТУ 143
  • СПбГПМУ 146
  • СПбГПУ 1599
  • СПбГТИ (ТУ) 293
  • СПбГТУРП 236
  • СПбГУ 578
  • ГУАП 524
  • СПбГУНиПТ 291
  • СПбГУПТД 438
  • СПбГУСЭ 226
  • СПбГУТ 194
  • СПГУТД 151
  • СПбГУЭФ 145
  • СПбГЭТУ «ЛЭТИ» 379
  • ПИМаш 247
  • НИУ ИТМО 531
  • СГТУ им. Гагарина 114
  • СахГУ 278
  • СЗТУ 484
  • СибАГС 249
  • СибГАУ 462
  • СибГИУ 1654
  • СибГТУ 946
  • СГУПС 1473
  • СибГУТИ 2083
  • СибУПК 377
  • СФУ 2424
  • СНАУ 567
  • СумГУ 768
  • ТРТУ 149
  • ТОГУ 551
  • ТГЭУ 325
  • ТГУ (Томск) 276
  • ТГПУ 181
  • ТулГУ 553
  • УкрГАЖТ 234
  • УлГТУ 536
  • УИПКПРО 123
  • УрГПУ 195
  • УГТУ-УПИ 758
  • УГНТУ 570
  • УГТУ 134
  • ХГАЭП 138
  • ХГАФК 110
  • ХНАГХ 407
  • ХНУВД 512
  • ХНУ им. Каразина 305
  • ХНУРЭ 325
  • ХНЭУ 495
  • ЦПУ 157
  • ЧитГУ 220
  • ЮУрГУ 309

Полный список ВУЗов

  • О проекте
  • Реклама на сайте
  • Правообладателям
  • Правила
  • Обратная связь

Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).

Источник