Меню

Рассчитать электрическую цепь переменного тока при параллельном соединении

Расчет цепей с параллельным соединением ветвей

ads

Расчет электрической цепи, рассмотренный в предыдущей статье, можно распространить на цепи, содержащие произвольное число приемников, соединенных параллельно.

1

На рис. 14.14, а параллельно соединены те же элементы цепи, которые были рассмотрены при последовательном соединении (см. рис. 14.7, а). Предположим, что для этой цепи известны напряжение u = Umsinωt . и параметры элементов цепи R, L, С. Требуется найти токи в цепи и мощность.

Векторная диаграмма для цепи с параллельным соединением ветвей. Метод векторных диаграмм

Для мгновенных величин в соответствии с первым законом Кирхгофа уравнение токов

2

Представляя ток в каждой ветви суммой активной и реактивной составляющих, получим

3

Для действующих токов нужно написать векторное уравнение

4

Численные значения векторов токов определяются произведением напряжения и проводимости соответствующей ветви.

На рис. 14.14, б построена векторная диаграмма, соответствующая этому уравнению. За исходный вектор принят, как обычно при расчете цепей с параллельным соединением ветвей, вектор напряжения U, а затем нанесены векторы тока в каждой ветви, причем направления их относительно вектора напряжения выбраны в соответствии с характером проводимости ветвей. Начальной точкой при построении диаграммы токов выбрана точка, совпадающая с началом вектора напряжения. Из этой точки проведен вектор l1a активного тока ветви I (по фазе совпадает c напряжением), а из конца его проведен вектор I1p реактивного тока той же ветви (опережает напряжение на 90°). Эти два вектора являются составляющими вектора I1 тока первой ветви. Далее в том же порядке отложены векторы токов других ветвей. Следует обратить внимание на то, что проводимость ветви 3-3 активная, поэтому реактивная составляющая тока в этой ветви равна нулю. В ветвях 4-4 и 5-5 проводимости реактивные, поэтому в составе этих токов нет активных составляющих.

Расчетные формулы для цепи с параллельным соединением ветвей. Метод векторных диаграмм

Из векторной диаграммы видно, что все активные составляющие векторов тока направлены одинаково — параллельно вектору напряжения, поэтому векторное сложение их можно заменить арифметическими найти активную составляющую общего тока: Iа = I1a + I2a + I3a.

Реактивные составляющие векторов токов перпендикулярны вектору напряжения, причем индуктивные токи направлены в одну сторону, а емкостные — в другую. Поэтому реактивная составляющая общего тока в цепи определяется их алгебраической суммой, в которой индуктивные токи считаются положительными, а емкостные — отрицательными: Ip = — I1p + I2p — I4p + I5p.

Векторы активного, реактивного и полного тока всей цепи образуют прямоугольный треугольник, из которого следует

5

Подставив величины токов в ветвях, выраженные через напряжение и соответствующие проводимости, получим

6

7

где ∑Gnобщая активная проводимость, равная арифметической сумме активных проводимостей всех ветвей; ∑Bn общая реактивная
проводимость, равная алгебраической сумме реактивных проводимостей всех ветвей (в этой сумме индуктивные проводимости считаются положительными, а емкостные — отрицательными); Y — полная проводимость цепи;

Таким образом получена знакомая уже формула (14.12), связывающая напряжение, ток и проводимость цепи [ср. (14.12) и (14.8)].

Следует обратить внимание на возможные ошибки при определении полной проводимости цепи по известным проводимостям отдельных ветвей: нельзя складывать арифметически проводимости ветвей, если токи в них не совпадают по фазе.

Полную проводимость цепи в общем случае определяют как гипотенузу прямоугольного треугольника, катетами которого являются выраженные в определенном масштабе активная и реактивная проводимости всей цепи:

8

От треугольника токов можно перейти также к треугольнику мощностей и для определения мощности получить известные уже формулы

9

Активную мощность цепи можно представить как арифметическую сумму активных мощностей ветвей.

10

Реактивная мощность цепи равна алгебраической сумме мощностей ветвей. В этом случае индуктивная мощность берется положительной, а емкостная — отрицательной:

Расчет цепи без определения проводимостей ветвей

Расчет электрической цепи при параллельном соединении ветвей можно выполнить без предварительного определения активных и реактивных проводимостей, т. е. представляя элементы цепи в схеме замещения их активными и реактивными сопротивлениями (рис. 14.15, а).

Определяют токи в ветвях по формуле (14.4);

11

где Z1, Z2 и т. д. — полные сопротивления ветвей.

Полное сопротивление ветви, в которую входят несколько элементов, соединенных последовательно, определяют по формуле (14.5).

12

Для построения векторной диаграммы токов (рис. 14.15, б) можно определить активную и реактивную составляющие тока каждой ветви по формулам

13

и т. д. для всех ветвей.

В этом случае отпадает необходимость определения углов ф1 ф2 и построения их на чертеже.

Ток в неразветвленной части цепи

14

Общий ток и мощность цепи определяются далее в том же порядке, какой был показан ранее (см. формулы (14.10), (14.15), (14.16)].

Источник

Цепи с параллельным соединением ветвей.

Для расчета цепи с параллельным соединением ветвей применяется метод проводимостей.

Рассмотрим применение этого метода на примере расчета цепи, показанной на рис.2. Нужно определить общий ток I в неразветвленной цепи. Он равен векторной сумме токов параллельных ветвей.

При построении векторных диаграмм в случае параллельного соединения элементов в качестве исходного вектора используется вектор напряжения , так как напряжение в этом случае одно и то же для всех ветвей (см.рис.14).

Вектор тока Ī представляет собой сумму векторов тока ĪR1, который совпадает с вектором напряжения по фазе и вектора тока , отстающего от вектора напряжения на угол π⁄2. Вектор тока равен сумме векторов тока , совпадающего с вектором напряжения по фазе, и вектора , опережающего на угол π/2. Вектор тока Ī, совпадает с напряжением по фазе, а вектор тока отстает от на угол π/2. Из векторной диаграммы на рис.14 видно, что активная составляющая тока всей цепи равна арифметической сумме активных составляющих токов ветвей:

Читайте также:  Утечка тока по корпусу акб

Реактивная составляющая тока цепи равна алгебраической сумме реактивных составляющих токов ветвей:

IP = IC – IL1 – IL4 (cкалярные величины).

Векторную диаграмму токов на рис.14 можно преобразовать к виду, изображенному на рис.15.

Векторную диаграмму, показанную на рис.15, обычно называют треугольником токов. Ток в цепи до разветвления равен

Для нахождения активной, реактивной и полной проводимостей можно разделить модуль каждого вектора тока на модуль вектора , в результате чего получится прямоугольный треугольник, подобный треугольнику тока, стороны которого равны проводимостям g, b, у – так называемый треугольник проводимостей (рис.16).

g – активная проводимость;

b – реактивная проводимость;

у – полная проводимость.

В общем случае, если ветвь содержит не только одно сопротивление ( R или L или C), но несколько (как ветви аб и гд на рис.2) значения проводимостей определяются следующим образом:

Считается, что емкостная проводимость bc положительна, так как ей соответствует опережающий по фазе напряжение емкостный ток, а индуктивная bL— отрицательна, так как ей соответствует индуктивный отстающий ток.

В общем случае активная проводимость разветвления в целом равна арифметической сумме активных проводимостей ветвей:

а реактивная проводимость равна алгебраической сумме реактивных проводимостей:

Условно можно принять, что угол φ>0, если ток опережает напряжение.

Следовательно, в общем виде закон Ома для параллельного соединения будет иметь вид

В схемах с параллельным соединением ветвей может преобладать емкостная или индуктивная проводимость, но возможен и частный случай, когда

Это равенство является условием резонанса токов, при таком режиме реактивные токи в ветвях могут значительно превышать общий ток I, поступающий от источника.

Векторную диаграмму токов можно изобразить на комплексной плоскости. Для цепи на рис.2 она будет иметь такой вид, как на рис.14 (см.рис.17).

Общий ток цепи равен сумме токов ветвей İ = İ1 + İ2 + İ3 + İ4

Исходя из написанного выше, можно записать выражение для общего тока:

Это соотношение есть закон Ома для параллельной цепи, записанный в комплексном виде.

Сомножитель перед — полная проводимость параллельной цепи в комплексной форме

Все комплексные величины можно записать в показательной форме. В общем случае

Ψ – угол между напряжением и вещественной осью. У нас ψ = 0, . Комплекс проводимости в показательной форме , где

Комплекс тока в показательной форме

Резонанс в электрических цепях.

Рассмотренные выше электрические цепи представляют собой последовательный и параллельный колебательные контуры соответственно. Цепь, в которой индуктивность, емкость и активное сопротивление соединены последовательно, называется последовательным колебательным контуром . Цепь, в которой индуктивность, емкость и активное сопротивление соединены параллельно, называется параллельным колебательным контуром.

В колебательных контурах при определенных условиях могут возникать особые явления, которые называют резонансными. Резонанс в последовательном колебательном контуре называют резонансом напряжений, резонанс в параллельном колебательном контуре – резонансом токов.

В цепях переменного тока резонанс наступает тогда, когда частота источника напряжения равна резонансной частоте контура (собственной частоте колебаний контура, если ). При резонансе ток и напряжение совпадают по фазе, т.е. угол φ = 0.

Резонанс напряжений.

Закон Ома для последовательной цепи, состоящей из активного, индуктивного и емкостного сопротивлений (си.рис.1), выражается формулой

где R – активное сопротивление контура;

XL и XC — индуктивное и емкостное сопротивления контура соответственно.

Угол сдвига фаз между током и напряжением

Резонанс наступает тогда, когда цепь ведет себя как чисто активная, т.е. когда ток и напряжение совпадают по фазе, угол φ = 0.

Условием возникновения резонанса в последовательном колебательном контуре является равенство реактивных сопротивлений контура .

Тогда полное сопротивление цепи будет равно его активной составляющей:

Сдвига фаз между током и напряжением не будет, угол φ = 0, cos φ = 1.

Векторная диаграмма цепи при резонансе напряжений представлена рис. 18 (а и б).

При резонансе напряжений действующие значения реактивных составляющих напряжения UL и UC равны по величине, мгновенные значения равны и противоположны по знаку, векторы и равны и противоположны по знаку.

Результирующее напряжение при резонансе равно его активной составляющей

Следовательно, мощность, развиваемая источником, является активной мощностью, она поддерживает в цепи R, L, C незатухающие колебания, несмотря на то, что в цепи есть активное сопротивление. Энергия магнитного поля при резонансе полностью переходит в энергию электрического поля и наоборот:

Частота, при которой в контуре наступает резонанс, называется резонансной.

Значение резонансной частоты можно определить из условия резонанса XL=XC.

то резонансная частота контура

Резонанс напряжений можно получить изменяя в цепи индуктивность, емкость или частоту напряжения источника питания контура, всего, если хотят настроить контур в резонанс, используют конденсатор переменной емкости. С этого конденсатора снимают выходное напряжение.

Если XL=XC>=R, напряжение на индуктивности UL и емкости UC могут достигать значительной величины и во много раз превышать общее напряжение U, приложенное к цепи. Ток в цепи I также значительно возрастает: . Для исключения перегрузки источника питания в схему иногда вводят ограничивающее сопротивление Rорг . Поскольку резонанс сопровождается значительными перенапряжениями и сверхтоками, в мощных установках он является аварийным. Свойства колебательного контура характеризуются рядом величин:

а) Характеристическое сопротивление контура (или волновое)

Эта величина имеет размерность сопротивления (величину ρ можно получить из уравнения (х) ).

Читайте также:  В малой катушке выключают электрический ток

б) Добротность контура

Добротность контура служит характеристикой реального контура, когда .

При резонансе добротность контура равна отношению напряжения на емкости или индуктивности к напряжению на активном сопротивлении.

Покажем это: , но

Добротность радиотехнических контуров обычно составляет 50-200.

в) Затухание контура

г) Резонансные кривые – это графическое изображение зависимости напряжений на емкости, индуктивности и активном сопротивлении, а также тока от частоты (см.рис.19).

Чаще всего резонансные кривые стоят в зависимости от относительной частоты

где А – значение напряжения или тока;

w, f — текущее значение угловой частоты и частоты соответственно;

— значения угловой частоты и частоты при резонансе.

Построенные таким образом зависимости обладают наибольшей общностью.

Вид резонансных кривых, построенных в функции относительной частоты, целиком определяется добротностью контура Q. На рис.20 показано семейство резонансных кривых для различных значений добротности контура.

Из рис.20 видно, что с увеличением добротности контура резонансная кривая становится острее.

д) Полоса пропускания контура (или ширина резонансной кривой) – это полоса частот вблизи резонанса, на границах которой выходная величина А (напряжение, ток) составляет от резонансного (максимального) значения (см.рис.21).

Резонанс токов.

Как указывалось выше, резонанс токов наблюдается в параллельных колебательных контурах, содержащих элементы L, C и R (см.рис.22). Параллельные контуры могут быть и другого вида.

Примечание: Rогр включают для исключения перегрузки источника питания.

Закон Ома для параллельного соединения активного сопротивления, емкости, индуктивности в общем случае выражается формулой:

где g — активная проводимость;

bL и bc — реактивные проводимости, индуктивная и емкостная соответственно.

Угол сдвига фаз между током в неразветвленной части цепи I и приложенным напряжением равен

Если bL = bc , цепь будет вести себя так, будто она содержит только активное сопротивление. В этом случае в неразветвленной части цепи ток I будет совпадать по фазе с приложенным к контуру напряжением, φ = 0, cosφ = 1.Такое состояние цепи называется резонансом токов.

Резонансная частота контура определяется следующим образом

Т.к. при резонансе

При малых значениях активных сопротивлений R1 и R2 выражение для fрез для последовательного колебательного контура

Векторная диаграмма цепи для случая, когда показана на рис.23 (значения величин взяты произвольно).

Общий реактивный ток, равный разности реактивных токов ветвей, при резонансе токов равен 0. Общий ток цепи имеет только активную составляющую, таким образом, его величина в момент резонанса имеет наименьшее значение. В идеальном случае, если R1 = R2 = 0, резонанс токов эквивалентен размыканию цепи.

Рассмотрим, какое значение имеют токи в ветвях и индуктивностью и емкостью при резонансе, если активное сопротивление ветвей контура R1 и R2 малы, по сравнению с реактивными сопротивлениями. Ток Ī1 отстает, а ток Ī2 опережает напряжение и ток Ī на угол, близкий к π⁄2 (см.рис.24).

В этом случае токи Ī1 и Ī2 между собой сдвинуты по фазе на угол, близкий к π, а амплитуды их будут практически равны, т.к. ХL = Хc, и во много раз больше амплитуды тока в неразветвленной ветви. Поэтому резонанс в параллельных контурах называют резонансом токов.

Поскольку токи ветвей сдвинуты по фазе на угол ≈ π при малых R1 и R2 и равны по величине, можно считать, что при резонансе они образуют как бы один контурный ток Ir, замыкающийся в колебательном контуре. Зависимость тока Iк от частоты ƒ показана на рис.25 (резонансная кривая).

Свойства параллельного колебательного контура характеризуются теми же величинами, что и последовательный колебательный контур.

Добротность Q = ρ ⁄ R для параллельного контура равна отношению тока в индуктивности Il или емкости Iс к току в неразветвленной части цепи при резонансе

Резонансные кривые для параллельного колебательного контура показаны на рис.26. (R≈0).

Резонанс токов в отличие от резонанса напряжений не является опасным для электрических установок, поскольку в реальных условиях реактивные проводимости редко бывают высокими.

Явления резонанса напряжений и токов широко используются в технике связи, автоматике и телемеханике, для улучшения cosφ в промышленных установках.

Путем настройки колебательного контура в резонанс с частотой передаваемого сигнала можно выделить полезный сигнал.

Источник

Расчет параллельных цепей переменного тока

Методика (с примером) решения задач на тему: Электрические цепи с параллельным соединением активного, емкостного и индуктивного сопротивлений.

Цель: рассчитать напряжения, токи на элементах цепи. Построить диаграмму напряжений и токов.

Теория.

Для такой цепи характерно то, что электроприемники, соединенные параллельно, находятся под общим напряжением. Ток каждой ветви определяется по закону Ома: I 1 = U / Z 1 ,где Z 1 = √ R 1 2 + XL 1 2 , I2 = U /Z2, где Z2 =√ R 2 2 + XC 2 2 .

Углы сдвига фаз φ1 и φ2 между током и напряжением каждой ветви определяются с помощью тригонометрических функций:
cos φ1= R1 / Z1и sin φ1= XL1 / Z1, cos φ2= R2 / Z2и sin φ2= — XC2 / Z2.

Угол сдвига фаз обязательно следует проверять по синусу во избежание потери знака угла (cos является четной функцией), но находить его тоже нужно. Он потребуется в дальнейшем расчете цепи.
Общий ток цепи следует из I закона Кирхгофа, он равен сумме токов ветвей:

Векторная диаграмма этих токов:

Общий суммарный или результирующий ток можно найти не только графически (диаграмма строится в масштабе), но и математически, на основании теоремы Пифагора: I = √ Ia 2 +I p 2 , где I a – проекция вектора общего тока на вектор напряжений, она называется активной составляющей общего тока, где Iр – проекция вектора общего тока на линию, перпендикулярную линии напряжения, она называется реактивной составляющей общего тока. Из диаграммы видно, что Iа= Iа1 + Iа2, Iр=IL1 — IС2.

Читайте также:  Шесть одинаковых ламп включены параллельно в цепь напряжением 220 в определите силу тока

В этих формулах: Iа1 и Iа2 — активные составляющие токов первой и второй ветви.
IL1 — реактивные составляющие тока первой ветви. Она носит индуктивный характер и поэтому взята знаком “плюс”.
Iс2 — реактивные составляющие тока второй ветви. Она носит емкостной характер и поэтому взята знаком “минус”.

Значения составляющих токов ветвей можно определять по формулам:
I а1 = I 1 cos φ1; I а2 = I 2 cos φ2; IL 1 = I 1 sin φ1; IC 2 = I 2 sin φ2.

Активная мощность цепи равна арифметической сумме активных мощностей ветвей: Р = Р1 + Р2, где Р1 = U I 1 cos φ1 или Р1 = I 1 2 R 1 , Р2 = U I 2 cos φ2 или Р2 = I 2 2 R 2.

Реактивная мощность цепи равна алгебраической сумме реактивных мощностей ветвей: Q =QL1 — QC2 , где QL1= U I1 sin φ1 или QL1=I1 2 Х L1, QС1= U I 2 sin φ2 или

Активную и реактивную мощность можно найти и так: Р = UI cos φ или

Q = U I sin φ, где cos φ = ( I а1 + I а2 ) / I , sin φ = ( IL 1 — IC 2 ) / I ,
cos φ и sin φ используют также для определения угла сдвига фаз между общим током и напряжением.
Полная мощность цепи: S =U I или S =√ P 2 + Q 2
Угол сдвига фаз между общим током и напряжением можно определять и из выражений: cos φ = Р / S, sin φ = Q / S

Пример задачи параллельного соединения
Дано: U = 540 B, R1 = 28,8 Oм, XL1 =21,6 Oм, R2 = 45 Oм, XC3=20 Oм.

Определить: I1, I2, I3, I, P, Q, S, cos φ, построить векторную диаграмму токов в масштабе.

Решение.

1.Полное сопротивление первой (левой) ветви Z1=√ R 1 2 + XL 1 2 == 28,8 2 +21,6 2 = 36 Oм.
Косинус и синус угла сдвига фаз φ1 между напряжением и током левой ветви:
cos φ1 = R1 / Z1 = 28,8 / 36= 0,8; sin φ1 =X L1 / Z1 = 21,6 / 36 = 0,6
Ток в первой ветви I1 = U / Z1 = 540 / 36 = 15 A.
Активная и реактивная составляющая тока первой ветви:
Iа1 = I1 cos φ1 = 15 · 0,8 =12 A; IL1 = I1 sin φ1 =15 · 0,6 = 9 A

2.Во второй (средней) ветви дано только активное сопротивление, поэтому ее ток I2 = I2a = U / R2 = 540 В / 45 Ом = 12 A.
Он совпадает по фазе с напряжением и носит активный характер, угол сдвига фаз между этим током и напряжением φ2 = 0.
Реактивная составляющая тока в этой ветви отсутствует I2P = I2 sin φ2 = 12 · 0= 0

3.В третьей (правой) ветви дано только емкостное сопротивление, поэтому ее ток I3 = I C3 = U/XС3=540 В / 20 Ом = 27 A.Этот ток опережает напряжение на угол φ3 = — 90°.
Активная составляющая тока этой ветви равна нулю I a3 = I3 cos φ3= 27 cos(- 90◦) = 0

4. Определяем ток в неразветвленной части цепи:
I = √ ( I a1 + I a 2 ) 2 + ( I L1 — I C3 ) 2 = √ (12+12) 2 +(9-27) 2 = 30 A.

5.Определяем коэффициент мощности всей цепи:

cos φ= (I a1 + I a 2 ) / I =(12+12)/ 30=0,8

6.Угол сдвига фаз находим по синусу во избежание потери знака угла (косинус является четной функцией) sin φ=(I L 1 — I C 3 ) / I = (9- 27) / 30 = — 0,6.
Используя таблицу или калькулятор, находим угол φ = -36° 52´

7.Определяем активную мощность цепи:
Р = UI cos φ = 540·30·0,8 = 12960 Bт или Р = Р1 + Р2, где Р1 = UI1 cos φ1 или

8.Реактивная мощность цепи равна Q = U I sin φ = 540 · 30 · (- 0,6)= -9720 вар
Знак “минус” говорит о преобладании емкостного характера нагрузки над индуктивным. Эту мощность можно найти и так:
Q =QL1 — Q C3 , где QL1= U I1 sin φ1 или QL1=I1 2 Х L1, QС3= U I3 sin φ1 или QС3=I3 2 Х C 3

Активную и реактивную мощность можно найти и так: Р = UI cos φ,

Q= U I sin φ

9.Определяем полную мощность цепи S = U I =16200 ВА. Эту мощность можно найти и так: S = √ P 2 + Q 2 .

Источник



Параллельное соединение R, L, C в цепи переменного тока

L
R
C

При параллельном соединении напряжения на всех элементах цепи, одинаковы и равны внешнему напряжению, а мгновенные значения токов складываются, то есть

.

Таким образом, в результате сложения трех колебаний получается четвертое.

Также, как и раньше, для сложения колебаний применим метод векторных диаграмм. По закону Ома для участков цепи имеем

, , . (1)

Выделим направление и обозначим его как ось напряжений. Поскольку сдвиг фаз между током и напряжением на активном сопротивлении равен нулю, вектор тока длиной, равной амплитуде , направим по оси напряжений. Учитывая, что на индуктивном сопротивлении напряжение опережает ток на , вектор направим перпендикулярно оси токов вниз. Тогда вектор, изображающий ток на электроемкости , который опережает напряжение на , будет ориентирован противоположно вектору . Результатом сложения этих трех векторов будет вектор длиной .

ось напряжений
j

Вначале сложим противоположно направленные векторы и . Затем применим теорему Пифагора, согласно которой

.

Подставим в эту формулу выражения (1)

,

откуда выразим амплитуду напряжения

.

Эту формулу можно записать в виде

,

она представляет закон Ома для участка цепи, содержащего параллельно соединенные активное, емкостное и индуктивное сопротивления. Величину

называют полным сопротивлением цепи переменного тока или импедансом.

Из векторной диаграммы видно, что при выполнении условия , или, что то же самое, полное сопротивление цепи минимально и равно активному сопротивлению: Z = R. Токи на индуктивном и емкостном сопротивлениях совпадают по величине: , сдвиг фаз между током и напряжением равен нулю. Это явление называется резонансом токов

Источник