Меню

Расчет токов в цепи в комплексном виде

Приложение 1. Комплексный метод расчета электрических цепей синусоидального тока

Все графические методы расчета цепей синусоидального тока не обеспечивают точного расчета электрических цепей, кроме того, они сложны и трудоемки.

Наиболее простым и точным методом расчета электрических цепей синусоидального тока является комплексный метод, основанный на теории комплексных чисел.

Синусоидальная величина изображается вращающимся вектором на комплексной плоскости с осями ±1 и ±j, где мнимая единица, символ.

За положительное направление вращения вектора принято направление против часовой стрелки. За время, равное одному периоду, вектор совершает один оборот.

На рис.4.5 изображен вектор комплексного тока , которому соответствует комплексное число

Рис.4.5. Составляющие комплексного числа на комплексной плоскости

где I — модуль действующего значения тока, равный длине вектора;

где — действительная составляющая тока; — мнимая составляющая; yi = arctg ( ) – аргумент тока, равный начальной фазе, т. е. угол между вектором и действительной полуосью +1 при t = 0. Аргумент положительный, если вектор отложен в направлении против движения часовой стрелки, и отрицательный — если по часовой.

Комплексные значения синусоидальных величин обозначают несинусоидальных — z, S.

Над комплексными числами можно производить все алгебраические действия (при сложении и вычитании удобнее использовать алгебраическую форму, а при умножении, делении, возведении в степень, извлечении корня – показательную).

Алгебраическая форма записи:

Тригонометрическая форма записи:

İ = Icosyi + jsinyi .

Показательная форма записи:

İ = Ie j y i .

Переход из одной формы записи в другую осуществляется по формуле Эйлера через тригонометрическую форму записи

e ± j α =cosα±j sinα.

Например: İ = 10e j37º = 10cos37˚ + j10sin37º = 10 · 0,8 + j10 0,6 = = 8 + j6 = (8² + 6²) 1/2 e +jarctg6/8 = 10e +j37º (А).

При работе с комплексными числами используют и сопряженные комплексные величины, имеющие одинаковые модули и одинаковые по величине, но противоположные по знаку аргументы:

İ = 10e j 37º , А; I* =10ej37º , А.

Произведение İ I* = 10e j 37º 10ej 37º = 100e j 0° , À.

Приложение 2.

Таблица Основные свойства элементов цепей переменного тока

Двухполюсник Резистор (резистивное сопротивление Катушка (индуктивное реактивное сопротивление Конденсатор (емкостное реактивное сопротивление)
Обозначение
Связь между мгновенными значениями u и i i= uR/R uL = Ldi/dt i = CduC/dt
Если задано uR = maxsinωt uL = Umaxsinωt uC = Umaxsinωt
То имеем i = maxsinωt/R i = Umaxsin(ωt – – π/2)/ωL = = Imax sin(ωt – π/2) i= ωCUmaxcosωt= = Imax sin(ωt +π/2)
Действующее значение тока I = UR/R I = ULL ICUC
Сопротивление (или соответственно реактивное сопротивление) R XL = ωL XC = 1/ωC
Сдвиг фаз φ = ψU – ψi = 0 φ = ψU – ψi =+90 ͦ φ = ψU – ψi = –90 ͦ
Сдвиг по фазе
Комплексное сопротивление
Расчет комплексным методом
Зависимость сопротивления от частоты R R ω XL ωL ω XC 1/ωC ω

Приложение 3.Расчет электрических цепей комплексным методом

Задача 1.

Определить ток и напряжения на участках цепи рис.1, если известны следующие данные:

R = 8 Ом; XL =6 Ом

Рис.1. Пример к расчету цепи с последовательным включением R и XL

Решение.

Комплексное сопротивление цепи, Ом:

где = arctqXL/R = 37°

Начальная фаза тока ψi = –37°.

Напряжения участков цепи, В :

Задача 2.

Определить ток, напряжения на участках цепи и мощности электрической цепи при последовательном соединении R, L и С рис.2, если известны следующие данные:

R = 8 Ом; XL =6 Ом, ХС = 12 Ом.

Рис. 2. Последовательное соединение R, L и С.

Решение.

Определяем комплексное сопротивление цепи, Ом:

где = arctq(XLС)/R = arctq (6 12)/8 = 37°

Определяем комплексный ток, А:

Определяем комплексные напряжения на участках цепи, В:

= 3872 – j2904

Определяем комплексную полную мощность цепи, ВА:

= = = =4840cos37º – j4840sin37 º = 3872 – j2904

Активная мощность, Вт:Р = 3872

Реактивная (емкостная) мощность, вар:

Задача 3.

Определить токи ветвей для схемы рис. 3, если известны следующие данные:

u(t) = 183sin314t; R1 = 8 Ом; R2 = 12 Ом; XL =6 Ом; XC = 5 Ом.

Рис. 3. Параллельное соединение ветвей с R-L и R-C

Решение.

Комплексное действующее входное напряжение цепи, В:

Комплексные токи параллельных ветвей, А:

Сумма комплексных токов параллельных ветвей, А:

Полученному комплексному току соответствует синусоидальный ток, А:

i(t) = 20

Задача 4.

В четырехпроводную сеть с линейным напряжением Uл =220 В, включен трехфазный приемник, соединенный по схеме «звезда» (рис.4). Комплексные сопротивления фаз приемника:

Найти комплексные токи в линейных и нейтральном проводах.

Решение.

Фазное напряжение, В:

Комплексные фазные напряжения, В:

Комплексные линейные токи равны соответственно комплексным фазным токам, А:

Комплексный ток в нейтральном проводе, А:

+ + + = ˗˗ 2,81 + j4,9 =5,9e j 120

Приложение 4. Техника безопасности при работе с электротехническими установками. Опасность поражения

Читайте также:  Индикатор тока сети бесконтактный

Лабораторные стенды являются действующими электроустановками и при определенных условиях могут стать источником опасности поражения электрическим током. Дело в том, что тело человека обладает свойством электропроводности и при соприкосновении с неизолированными элементами установки, находящейся под напряжением, становится звеном электрической цепи. Возникший вследствие этого в теле человека электрический ток может вызвать ожог кожи (электрическую травму) или нанести тяжелые поражения нервной, сердечной и дыхательной системам организма (электрический удар).

Установлено, что как постоянный, так и переменный электрические токи при величине ),05 А являются опасными, а при величине 1 А – смертельными.

Чтобы оценить, при каком напряжении может быть нанесен серьезный ущерб здоровью человека или какое напряжение считать опасным для жизни, надо знать величину сопротивления тела человека. Однако, это чрезвычайно изменчивая величина, зависящая от свойств кожи человека, его душевного состояния и ряда других величин. Как показывают измерения, сопротивление тела человека может изменяться в широких пределах – от 700 до нескольких десятков тысяч Ом. Нетрудно посчитать, что напряжение даже в несколько десятков вольт (40 ÷ 60 В) может при неблагоприятном стечении обстоятельств создать условия, когда возможен электрический удар. Поэтому следует всегда помнить о возможности поражения электрическим током и соблюдать меры предосторожности.

ЛИТЕРАТУРА

1. Алиев, И. И. Электротехнический справочник / И. И. Алиев. – М.: Радио Софт, 2004. – 384 с.

2. Беневоленский С.Б. Основы электротехники /Беневоленский С.Б., Марченко С. Л. – Москва: Физматлит, 2006. – 566 с.

3. Горошко, В. И. Электротехника, основы электроники и электрооборудование химических производств / В. И. Горошко, И. О. Оробей, Л. М. Давидович. – Минск: БГТУ, 2006. – 246 с.

4. Григораш О. В. Электротехника и электроника /О. В. Григораш, Г. А. Султанов, Д. А. Нормов. – Ростов-на-Дону; Краснодар: Феникс: Неоглари, 2008. – 462с.

5. Данилов И. А. Общая электротехника / И. А. Данилов. – Москва: Высшее образование, 2009. – 673с.

6. Жаворонков М. А. Электротехника и электроника / Жаворонков М. А., Кузин А.В. – Москва: Академия, 2005. – 394с.

7. Иванов, И. И. Электротехника /Иванов И. И., Соловьев В. И, Равдоник В. С. – Изд. 3-е, Санкт-Петербург: Лань, 2005. – 496 с.

8. Касаткин, А. С. Электротехника / А. С. Касаткин, М. В. Немцов. 10-изд; – Москва: Академия, 2007. – 538 с.

9. Кононенко В. В. Электротехника и электроника / В. В. Кононенко и др; под ред. Кононенко В. В. 4-е изд. – Ростов-на-Дону: Феникс, 2008. – 778 с.

10. Коровкина Н. П. Электротехника и основы электроники [Электронный ресурс]: Тексты лекций для студентов спец.1-36 07 01. 01, 1-36 07 01.02, 1-36 01 08, 62,8 мБ, формат pdt -2012г. Кафедра автоматизации производственных процессов и электротехники

11. Рекус, Г. Г. Основы электротехники и электроники в задачах с решениями / Рекус Г. Г. – Москва: Высшая школа, 2005. — 343с.

12. Электрические цепи. – Минск: БГТУ. 2005. – 56 с.

Источник

Комплексный метод расчета электрических цепей

date image2014-02-12
views image4689

facebook icon vkontakte icon twitter icon odnoklasniki icon

Существенное упрощение достигается изображением синусо­идальных функций времени комплексными числами.

Существует несколько форм представления комплексного числа:

— показательная (или экспоненциальная) форма: ;

Все эти формы связаны между собой, в частности, модуль числа , аргумент .

Для геометрического изображения используют прямоугольную систему координат, в которой по горизонтальной оси откладываются вещественные числа, а по вертикальной – мнимые: ; ; .

Для вещественной и мнимой частей комплексного числа употреб­ляют также обозначения: , .

Две комплексные величины, имеющие равные модули и равные, но противоположные по знаку аргументы, называют сопря­женными.

Если , то сопряженное ему комплексное число запишется в форме . При этом соблюдается равенство: .

Полезно помнить, что

Пусть имеем синусоидально изменяющийся ток с начальной фазой φi .

Его можно представить в форме .

Таким образом, синусоидальный ток рассматривают как комплексное изображение синусоидального тока, которое при заданной частоте ω определяется двумяве­личинами – амплитудой и начальной фазой:

Здесь комплексное число называют комплексной амплитудой тока.

Рассмотрим теперь выражение для производной по времени от синусоидального тока:

Изображение производной будет иметь вид:

Таким образом, операция дифференцирования действительной функции заменяется умножением ее комплексного изображения на .

Рассмотрим изображение интеграла от сину­соидальной функции

Искомое изображение интеграла будет иметь вид:

Следовательно, операция интегрирования действительной функции заменяется делением ее комплексного изображения на .

Таким образом, комплексный метод позволяет заменить интегро-дифференциальное уравнение, содержащее функции времени, алгебраическим уравнением с их комплексными изображениями.

Читайте также:  Ощущение тока по коже

1. Замена заданных функций времени их комплексными изображениями.

2. Замена всех уравнений, составленных по закону Кирхгофа, алгебраическими уравнениями для комплексных изображений.

3. Нахождение комплексных изображений искомых функций.

4. Переход к оригиналам этих функций.

В качестве примера рассмотрим цепь с последовательно соединенными элементами R,L и C,к зажимам которой приложено напряжение, изменяющееся по синусоидальному закону . Требуется найти ток в цепи: .

1) Заменяем функции времени их изображениями: , .

2) Составляем уравнение по второму закону Кирхгофа:

Полученное уравнение является алгебраическим. Все слагаемые имеют общий множитель . Окончательно получаем уравнение в комплексных амплитудах:

3) Из последнего уравнения легко определяется комплексная ам­плитуда тока:

где – комплексное сопротивление цепи.

4) Зная выражение для комплексной амплитуды тока в виде , можем, используя обратный переход, записать выражение для мгновенного тока: .

Обычно рассматривают действующие значения токов и напряжений. Так как действующие синусоидальные токи и напряжения меньше их амплитуд в раз, то обычно вместо комплексных амплитуд рассмат­ривают комплексные действующие величины: , .

Источник

Комплексный метод расчета электрических цепей переменного тока

Существенное упрощение достигается изображением синусо­идальных функций времени комплексными числами.

Существует несколько форм представления комплексного числа:

— алгебраическая форма: ;

— показательная (или экспоненциальная) форма: ;

— тригонометрическая форма: .

Все эти формы связаны между собой, в частности, модуль числа , аргумент .

Для геометрического изображения используется прямоугольная система координат, в которой по горизонтальной оси откладываются вещественные числа, а по вертикальной – мнимые. Такая плоскость называется плоскостью Гаусса. , ,

Для вещественной и мнимой частей комплексного числа употреб­ляют также обозначения: , .

Две комплексные величины, имеющие равные модули и равные, но противоположные по знаку аргументы, называют сопря­женными.

Если , то сопряженное ему комплексное число запишется в форме . При этом соблюдается равенство: .

Пусть имеется синусоидально изменяющийся ток .

Его можно представить в форме .

Комплексное число будем рассматривать как символическое изображение дейст­вительного синусоидального тока, которое определяется при заданной частоте ω двумя ве­личинами – амплитудой и начальной фазой.

Комплексное число называют комплексной амплитудой тока.

Рассмотрим теперь выражение для производной по времени от синусоидального тока

Изображение производной будет иметь вид:

Таким образом, операция дифференцирования действительной функции заменяется умножением на ее комплексного изображения.

Рассмотрим изображение интеграла от сину­соидальной функции. В частности, заряд сможет быть найден как

.

(Так как мы рассматриваем только случаи, когда приложенное к зажимам цепи напряжение и э. д. с, действующие в цепи, сину­соидальны и не содержат постоянных составляющих, то напряжения на конденсаторах и заряды на конденсаторах также не содержат постоянных составляющих).

Искомое изображение интеграла будет

Т. о. операция интегрирования действительной функции заменяется делением на ее комплексного изображения.

Таким образом, комплексный метод позволяет заменить интегро-дифференциальное уравнение, содержащее функции времени, алгебраическим уравнением с их комплексными изображениями.

1. Замена заданных функций времени их комплексными изображениями.

2. Замена всех уравнений, составленных по закону Кирхгофа, алгебраическими уравнениями для комплексных изображений.

3. Нахождение комплексных изображений искомых функций.

4. Переход к оригиналам этих функций.

В качестве примера рассмотрим цепь с последовательно соединенными участками R,L и C,к зажимам которой приложено напряжение, изменяющееся по синусоидальному закону .

Требуется найти ток в цепи: .

1) В соответствии с алгоритмом заменяем функции времени их изображениями: , .

2) Составляем уравнение по второму закону Кирхгофа:

и записываем его для комплексных изображений, заменив ток,его производную и интеграл их комплексными выражениями:

.

Полученное уравнение уже является алгебраическим. Все слагаемые имеют одинаковый множитель , на который уравнение можно поделить. Окончательно получаем уравнение для комплексных амплитуд:

.

Поэтому рассматриваемый метод расчета часто называют методом комплексных амплитуд. В дальнейшем сразу не будем писать множитель , а составлять уравнение для комплексных амплитуд.

3) Из последнего уравнения легко определяется комплексная ам­плитуда тока:

,

где – полное комплексное сопротивление цепи.

4) Зная выражение для комплексной амплитуды тока в виде , легко записать выражение для мгновенного тока:

Нас обычно интересуют действующие токи и напряжения. Так как действующие синусоидальные токи и напряжения меньше их амплитуд в , то обычно вместо комплексных амплитуд рассмат­ривают комплексные действующие величины: , .

Комплексные сопротивление и проводимость

Отношение комплексного напряжения к комплексному току называют комплексным сопротивлением цепи и обозначают .

,

где – активное, реактивное и полное сопротивления цепи.

В частности, для последовательного соединения R,L и C

.

Аналогично, отношение комплексного тока к комплексному напряжению называют комплексной проводимостью цепи и обозначают . Имеем:

Читайте также:  Десульфатация аккумулятора импульсным током

,

где – активная, реактивная и полная проводимости цепи.

Для параллельного соединения трех элементов

.

Очевидно, существует связь: или

Основные законы электрических цепей в комплексной форме

Вид законов электрических цепей переменного тока в комплексной форме такой же, как и для цепи постоянного тока. Только необходимо произвести замену соответствующих постоянных величин комплексными: , , , , , .

Закон Ома в комплексной форме имеют вид: .

Достоинство этих выражений заключается в том, что в них учи­тывается как связь между действующими значениями тока и напряжения,так и сдвиг фаз между ними.

Первый закон Кирхгофа в применении к узлу цепи .

Второй закон Кирхгофа применительно к контуру цепи .

Возможность использовать соотношения для цепей постоянного тока справедлива и для эквивалентных преобразований.

При последовательном соединении участков цепи напряжение на зажимах всей цепи равняется сумме падений напряжений на отдельных участках.Следовательно, при после­довательном соединении комп­лексное сопротивление всей цепи равно алгебраической сумме комплексных сопротивлений от­дельных участков цепи:

При параллельном соединении участков цепи общий ток на входе цепи равен сумме токов в отдельных участках. Таким образом, при параллельном соединении комплексная проводимость всей цепи равна алгебраической сумме комплексных проводимостей отдельных участков цепи:

.

При смешанном соединении:

; , . , , .

Расчет сложных цепей переменного тока комплексным методом осуществляется с помощью тех же методов, что и цепей постоянного тока при замене соответствующих величин их комплексными аналогами.

Источник



Комплексный метод расчета цепей переменного тока

Тригонометрическая форма расчета электрических цепей практически применима только для простейших цепей, не содержащих большого числа контуров и источников, поэтому широкое применение получил алгебраический метод, позволяющий рассчитывать цепи переменного тока аналогично цепям постоянного тока – комплексный метод (метод комплексных амплитуд, или символический метод).

Комплексное число, соответствующее точке, в которой лежит конец вектора (рис. 2.16), может быть записано в следующих формах: алгебраической = a1 + ja2; тригонометрической = a(cosα + jsinα); показательной = a·e jα и полярной (угловой) = a·∟α,

где: a1 = a·cosα = Re[ ] – действительная (вещественная) часть комплексного числа ;

a2 = a·sinα = Im[ ] – мнимая часть комплексного числа ;

– мнимая единица, или оператор поворота на угол

Рис. 2.16. Изображение вектора на комплексной плоскости

π/2 = 90° (умножение на j сводится к повороту вектора против часовой стрелки на угол π/2, а умножение на к повороту вектора на прямой угол по часовой стрелке);

– модуль комплексного числа (всегда положителен);

– угол или аргумент комплексного числа.

Показательная форма записи комплексного числа получается из формулы Эйлера:

cosα ± j·sinα = e ± jα

Комплексное число = a1ja2 = ae — jα называется комплексно-сопряженным числу = a1 + ja2 = ae jα . Произведение компексно-сопряженных чисел – число действительное, равное квадрату их модуля:

Умножение комплексного числа ae jα на число е jφ сводится к повороту вектора а в комплексной плоскости на угол α + φ:

ae jα · e jφ = ae j ( α + φ ) .

Сложение и вычитание комплексных чисел производится в алгебраической форме:

Умножение и деление комплексных чисел может производиться в алгебраической и показательной формах:

Возведение в степень производится следующим образом:

(ae jα ) n = a n e jαn = a n (cosαn + jsinαn).

Рассмотрим проекции вращающегося против часовой стрелки с постоянной угловой скоростью ω вектора (рис. 2.17). Проекция на действительную ось – Im cosα. Проекция на мнимую ось – jIm sinα.

Рис. 2.17. Проекции вращающегося вектора на комплексную плоскость

Тогда согласно формуле Эйлера

Угол α может быть любым. Если α = ωt + ψ, где ψ – начальная фаза, то

Im e j (ω t + ψ ) = Im cos (ωt + ψ) + jIm sin (ωt + ψ),

где: Im cos (ωt + ψ) – действительная часть комплексного числа;

jIm sin (ωt + ψ) – мнимая часть комплексного числа.

Для единообразия принято на комплексной плоскости изображать векторы синусоидально изменяющихся во времени величин для момента времени ωt = 0. Для этого момента времени вектор Im e j (ω t + ψ ) будет равен Im e jψ = , где – комплексная амплитуда тока, модуль ее равен 1т, а угол α на комплексной плоскости равен начальной фазе ψ . Аналогично можно записать для э.д.с. и напряжения:

Например, если ток, протекающий по цепи, равен i = 12sin (ωt + 30°)А, то в данном случае Im = 12 А, ψ = 30º , следовательно, комплексная амплитуда тока = 12e j 30º , а комплекс тока (комплексный ток)

Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет

Источник