Меню

Построение векторной диаграммы для разветвленной цепи переменного тока

Векторная диаграмма для цепи переменного тока

Для наглядного изображения соотношения между переменным током в цепи и внешним напряжением применяют метод векторных диаграмм.

Пусть внешнее напряжение меняется по закону: (5.97)

а) если цепь обладает только активным сопротивлением R (рис.5.24), то ток через него определяется законом Ома:

где амплитуда силы тока: .

В этом случае сдвиг по фазе между Im и Um равен нулю, что изображено на векторной диаграмме (рис. 5.25.)

б) если цепь обладает только индуктивным сопротивлением (рис.5.26), то при протекании в ней переменного тока возникает э.д.с. самоиндукции и закон Ома будет иметь вид:

Так как внешнее напряжение приложено к катушке индуктивности, то: (5.100)

есть — падение напряжения на катушке. Из уравнения (5.99) следует, что:

После интегрирования получаем:

Подстановка значения в выражение (5.100) приводит к зависимости падения напряжения на катушке индуктивности:

Сравнение выражений (5.102) и (5.101) приводит к выводу, что опережает по фазе ток, текущий через катушку, на , что показано на векторной диаграмме (5.27).

в) если в цепь переменного тока включен только конденсатор (рис. 5.28), то падение напряжения на конденсаторе:

Сила тока в цепи:

Падение напряжения на конденсаторе отстает по фазе на от тока, текущего через конденсатор (сравните (5.103) и (5.104)). Это показано на векторной диаграмме (рис. 5.29)

Реальная цепь переменного тока обладает и активным, и индуктивным, и емкостным сопротивлением. Переменный ток вызовет на всех элементах цепи соответствующие падения напряжения , и (рис.5.30).

Амплитуда приложенного внешнего напряжения должна быть равна геометрической сумме амплитуд этих падений напряжения рис. 5.31).

Сдвиг по фазе между током и внешним напряжением зависит от параметров цепи переменного тока. Из рис. 5.31 видно, что: , что согласуется с (5.93).

Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет

Источник

Построение векторной диаграммы для разветвленной цепи переменного тока

Пусть мы имеем векторную диаграмму, изображенную на рис. 159. Проектируя вектор тока I на направление вектора напряжения U, разложим вектор тока на две составляющие.

Рис. 159. Разложение тока на активную и реактивную составляющие
Рис. 159. Разложение тока на активную и реактивную составляющие

Одна из составляющих совпадает по направлению с вектором напряжений и называется активной составляющей тока. Она обозначается буквой Iа и равна

Другая составляющая, перпендикулярная вектору напряжения, называется реактивной составляющей тока. Она обозначается буквой Iр и равна

Таким образом, переменный ток I можно рассматривать как геометрическую сумму двух составляющих: активной Iа и реактивной Iр. Применение этого приема позволяет сравнительно просто производить расчеты разветвленных цепей переменного тока.

Рассмотрим разветвленную цепь, изображенную на рис. 160.

Рис. 160. Параллельное соединение ветвей r1L1 и r2L2
Рис. 160. Параллельное соединение ветвей r1L1 и r2L2

Углы сдвига фаз между напряжением и токами в ветвях:

На рис. 160 справа построена векторная диаграмма для параллельного соединения ветвей r1, L1 и r2, L2. Построение диаграммы начинается с вектора напряжения, так как напряжение является общим для двух ветвей. Ввиду наличия r и L в каждой из ветвей токи I1 и I2 отстают по фазе от напряжения U на углы φ1 и φ2.

Построив векторы токов I1 и I2 и сложив их по правилу параллелограмма, получим вектор тока I, протекающего на общем участке цепи. Из построения диаграммы видно, что

Общий ток равен

Читайте также:  Атриовентрикулярный узел вырабатывает импульсные токи с частотой в минуту

Порядок расчета разветвленной цепи покажем на числовом примере.

Пример 11. Для цепи, показанной на рис. 160, дано:

Напряжение сети 127 в, частота 50 гц.

Определить токи в ветвях и на общем участке цепи.

Для определения общего тока предварительно находим активные и реактивные составляющие токов:

Рассмотрим параллельное соединение ветвей, содержащих I и С (рис. 161, а):

Рис. 161. Параллельное соединение ветвей L и С
Рис. 161. Параллельное соединение ветвей L и С

полные сопротивления ветвей будут:

углы сдвига фаз между напряжением и токами в ветвях:

Векторная диаграмма, показанная на том же чертеже б, начинается с построения вектора напряжения U. Затем под углами φ1 и φ2 строятся векторы токов I1 и I2. Следует заметить, что ток I1 в ветви с индуктивностью отстает по фазе от напряжения на угол φ1, а ток I2 в цепи с емкостью опережает по фазе напряжение на угол φ2. Складывая векторы токов I1 и I2 по правилу параллелограмма, получаем вектор тока I.

Из построения векторной диаграммы видно, что активная составляющая общего тока равна сумме активных составляющих токов в обеих ветвях:

Реактивная составляющая общего тока равна разности реактивных составляющих — индуктивной Iр1 и емкостной Iр2:

Пример 12. Для цепи, представленной на рис. 161, дано: r1 = 5 ом, L1 = 0,05 гн, r2 = 5 ом, С2 = 100 мкф. Напряжение сети 220 в, частота 50 гц. Найти токи в ветвях и на общем участке цепи.

Источник

Расчёт разветвлённой цепи с помощью векторных диаграмм

date image2015-03-08
views image6451

facebook icon vkontakte icon twitter icon odnoklasniki icon

Присоединяем заданные приёмники параллельно к источнику напряжения.

Это значит, что цепь состоит из трех ветвей, для которых напряжение источника является общим. Схема цепи показана на рисунке 2.1

Расчёт параллельной цепи можно выполнить двумя методами: по активным и реактивным составляющим токов и методом проводимостей.

2.1. Метод активных и реактивных составляющих токов

Этот метод предусматривает использование схемы замещения с последовательным соединением элементов (рис 2.1). В данном случае три параллельные ветви рассматриваются как три отдельные неразветвлённые цепи, подключенные к одному источнику с напряжением U. Поэтому в начале расчёта определяем полные сопротивления ветвей:

Углы сдвига фаз между напряжениями и токами в ветвях определяются также по синусу (или тангенсу):

Затем можно определять токи в ветвях по закону Ома:

Для определения тока в неразветвлённой части цепи нужно знать активные и реактивные составляющие токов в ветвях и неразветвленной части цепи:

Активная и реактивная составляющие тока в неразветвлённой части цепи:

Полный ток в неразветвлённой части цепи:

Угол сдвига фаз на входе цепи:

Sinφ = IP / I = –13,59 / 18,6 = –0,7312; φ = -46,98°; Cosφ = 0,6822.

Активные, реактивные и полные мощности ветвей:

S1 = U * I1 = 65 * 18 = 1170 В*А;

QC2 = I2 2 * XC2 = 3,53 2 * 12 = 150 вар;

S2 = U * I2 = 65 * 3,53 = 229 В*А;

Активные, реактивные и полные мощности всей цепи:

P = P1 + P2 = 648 + 174 = 822 Вт;

S = = = 1209 В*А, или

S = U * I = 65 * 18,6 = 1209 В*А;

P = S * Cosφ = 1209 * 0,6822 = 825 Вт;

Q = S * Sinφ = 12О9 * (-0,7312) = –887 вар.

Для построения векторной диаграммы задаёмся масштабами напряжений MU = 5 В/см и токов MI = 2 А/см. Векторную диаграмму начинаем строить с вектора напряжения, который откладываем вдоль горизонтальной положительной оси. Векторная диаграмма токов строится с учётом того, что активные токи Ia1 и Ia2 совпадают по фазе с напряжением. Поэтому их векторы параллельны вектору напряжения; реактивные ёмкостные токи Ip1 и Ip2 опережают по фазе напряжение и их векторы строим под углом 90 0 к вектору напряжения в сторону опережения; реактивный индуктивный ток Ip3 отстаёт по фазе

Читайте также:  Почему при соединении секции обмотки реле параллельно ток увеличивается в 2 раза

от напряжения и его вектор строим под углом 90° к вектору напряжения в сторону отставания. Вектор тока в неразветвлённой части цепи строим с начала построения в конец вектора индуктивного тока. Векторная диаграмма построена на рисунке 2.2.

2.2. Метод проводимостей

Метод проводимостей основан на применении схемы замещения с параллельным соединением элементов (рисунок 2.3).

Расчёт начинают с определения активных, реакти­вных и полных проводимостей ветвей и всей цепи:

Y1 = 1 / Zl = 1 / 3,61 = 0,277 См;

Y2 = 1 / Z2 = 1 / 18,4 = 0,0543 См;

G = G1 + G2 = 0,153 + 0,0414 = 0,1944 См;

Далее определяем активные, индуктивную и емкостные составляющие то­ков в ветвях заданной цепи:

IG1 = U * G1 = 65 * 0,153 = 9,945 A;

IC1 = U * BC1 = 65 * 0,23 = 14,95 A;

IG2 = U * G2 = 65 * 0,0414 = 2,69 A;

IC2 = U * BC2 = 65 * 0,0354 = 2,3 A;

I1 = U * Y1 = 65 * 0,277 = 18 A;

I2 = U * Y2 = 65 * 0,0543 = 3,53 A;

Отличие метода проводимостей в том, что мы можем конкретно опре­делить все индуктивные и емкостные составляющие токов в ветвях, а в методе активных и реактивных составляющих мы можем определить только общие реактивные токи с их положительными или отрицательными знаками, указывающими на индуктивный или ёмкостный характер ветви. Если предпо­ложить, например, что ветвь 2 задана параметрами R, L и C, а не R и С, как задано, то это различие проследить можно более наглядно. Тогда со­отношение между реактивными токами, полученными двумя методами вырази­лось бы в таком виде: IP2 = IL2 – IC2. В нашем случае эти соотношения имеют вид: Ia2 = IG1; Iа2 = IG2; IP1 = –IC1; IP2 = –IC2; IP3 = IL3.

Ток в неразветвлённой части цепи можно проверить и по его актив­ной и реактивной составляющим:

Угол сдвига фаз и мощности определяются аналогично.

Источник



Как построить векторную диаграмму токов и напряжений

Векторные диаграммы — метод графического расчета напряжений и токов в цепях переменного тока, в которых переменные напряжения и токи символически (условно) изображаются с помощью векторов.

В основе метода лежит тот факт, что всякую величину, меняющуюся по синусоидальному закону (смотрите — синусоидальные колебания), можно определить как проекцию на какое-то выбранное направление вектора, вращающегося вокруг своей начальной точки с угловой скоростью, равной угловой частоте колебаний изображаемой переменной величины.

Поэтому всякое переменное напряжение (или переменный ток), меняющееся по синусоидальному закону, можно изображать с помощью такого вектора, вращающегося с угловой скоростью, равной угловой частоте изображаемого тока, причем длина вектора в определенном масштабе изображает амплитуду напряжения, а угол — начальную фазу этого напряжения.

Если рассмотреть электрическую цепь, состоящую из последовательно соединенных источника переменного тока, резистора, индуктивности и конденсатора, где U – мгновенное значение переменного напряжения, а i – это ток в текущий момент времени, причем U изменяется по синусоидальному (косинусоидальному) закону, то для тока можно записать:

Согласно закону сохранения заряда, в любой момент времени ток в цепи имеет одно и то же значение. Следовательно на каждом элементе будет падать напряжение: UR– на активном сопротивлении, UC – на конденсаторе, и UL – на индуктивности. Согласно второму правилу Кирхгофа, напряжение источника будет равно сумме падений напряжений на элементах цепи, и мы имеем право записать:

Читайте также:  Что такое коммутация вентильных токов

Заметим, что согласно закону Ома: I = U/R, и тогда U = I*R. Для активного сопротивления значение R определяется исключительно свойствами проводника, оно не зависит ни от тока, ни от момента времени, следовательно ток совпадает по фазе с напряжением, и можно записать:

А вот конденсатор в цепи переменного тока обладает реактивным емкостным сопротивлением, и напряжение на конденсаторе все время отстает по фазе от тока на Пи /2 , значит пишем:

Катушка, обладающая индуктивностью, в цепи переменного тока выступает реактивным индуктивным сопротивлением, и напряжение на катушке в любой момент времени опережает по фазе ток на Пи/ 2 , следовательно, для катушки запишем:

Можно записать теперь сумму падений напряжений, но в общем виде для приложенного к цепи напряжения можно записать:

Видно, что здесь имеет место некий сдвиг фаз, связанный с реактивной составляющей общего сопротивления цепи при протекании по ней переменного тока.

Поскольку в цепях переменного тока и ток и напряжение изменяются по закону косинуса, причем мгновенные значения отличаются между собой лишь фазой, то физики придумали в математических расчетах рассматривать токи и напряжения в цепях переменного тока как векторы, поскольку тригонометрические функции можно описать через векторы. Итак, запишем напряжения в виде векторов:

Используя метод векторных диаграмм, можно вывести, например, закон Ома для данной последовательной цепи в условиях протекания по ней переменного тока.

Согласно закону сохранения электрического заряда, в любой момент времени ток во всех частях данной цепи одинаков, так отложим же векторы токов, построим векторную диаграмму токов:

Пусть в направлении оси Х будет отложен ток Im – амплитудное значение тока в цепи. Напряжение на активном сопротивлении совпадает по фазе с током, значит эти векторы будут сонаправленными, отложим их из одной точки.

Напряжение на конденсаторе отстает на Пи/2 от тока, следовательно откладываем его под прямым углом вниз, перпендикулярно вектору напряжения на активном сопротивлении.

Напряжение на катушке опережает на Пи /2 ток, следовательно откладываем его под прямым углом вверх, перпендикулярно вектору напряжения на активном сопротивлении. Допустим, что для нашего примера UL>UC.

Поскольку мы имеем дело с векторным уравнением, сложим векторы напряжений на реактивных элементах, и получим разницу. Она будет для нашего примера (мы приняли что UL>UC) направлена вверх.

Прибавим теперь вектор напряжения на активном сопротивлении, и получим, по правилу векторного сложения, вектор суммарного напряжения. Так как брали максимальные значения, то и получим вектор амплитудного значения общего напряжения.

Так как ток менялся по закону косинуса, то напряжение тоже меняется по закону косинуса, но со сдвигом фаз. Между током и напряжением есть постоянный сдвиг фаз.

Запишем закон Ома для общего сопротивления Z (импеданса):

Из векторных изображений по Теореме Пифагора можем записать:

После элементарных преобразований получим выражение для полного сопротивления Z цепи переменного тока, состоящей из R, C и L:

Тогда получим выражение для закона Ома для цепи переменного тока:

Заметим, что наибольшее значение тока получатся в цепи при резонансе в условиях, когда:

Косинус фи из наших геометрических построений получается:

Источник