Меню

Изображения по лапласу тока

Изображения по лапласу тока

Сущность операторного метода заключается в том, что функции вещественной переменной t, которую называют оригиналом, ставится в соответствие функция комплексной переменной , которую называют изображением. В результате этого производные и интегралы от оригиналов заменяются алгебраическими функциями от соответствующих изображений (дифференцирование заменяется умножением на оператор р, а интегрирование – делением на него), что в свою очередь определяет переход от системы интегро-дифференциальных уравнений к системе алгебраических уравнений относительно изображений искомых переменных. При решении этих уравнений находятся изображения и далее путем обратного перехода – оригиналы. Важнейшим моментом при этом в практическом плане является необходимость определения только независимых начальных условий, что существенно облегчает расчет переходных процессов в цепях высокого порядка по сравнению с классическим методом.

Изображение заданной функции определяется в соответствии с прямым преобразованием Лапласа:

В сокращенной записи соответствие между изображением и оригиналом обозначается, как:

Следует отметить, что если оригинал увеличивается с ростом t, то для сходимости интеграла (1) необходимо более быстрое убывание модуля . Функции, с которыми встречаются на практике при расчете переходных процессов, этому условию удовлетворяют.

В качестве примера в табл. 1 приведены изображения некоторых характерных функций, часто встречающихся при анализе нестационарных режимов.

Таблица 1. Изображения типовых функций

Оригинал Изображение
A

Некоторые свойства изображений

    Изображение суммы функций равно сумме изображений слагаемых:

  • При умножении оригинала на коэффициент на тот же коэффициент умножается изображение:
  • С использованием этих свойств и данных табл. 1, можно показать, например, что

    Изображения производной и интеграла

    В курсе математики доказывается, что если , то , где — начальное значение функции .

    Таким образом, для напряжения на индуктивном элементе можно записать

    или при нулевых начальных условиях

    Отсюда операторное сопротивление катушки индуктивности

    Аналогично для интеграла: если , то .

    С учетом ненулевых начальных условий для напряжения на конденсаторе можно записать:

    или при нулевых начальных условиях

    откуда операторное сопротивление конденсатора

    Закон Ома в операторной форме

    Пусть имеем некоторую ветвь (см. рис. 1), выделенную из некоторой

    сложной цепи. Замыкание ключа во внешней цепи приводит к переходному процессу, при этом начальные условия для тока в ветви и напряжения на конденсаторе в общем случае ненулевые.

    Для мгновенных значений переменных можно записать:

    Тогда на основании приведенных выше соотношений получим:

    где — операторное сопротивление рассматриваемого участка цепи.

    Следует обратить внимание, что операторное сопротивление соответствует комплексному сопротивлению ветви в цепи синусоидального тока при замене оператора р на .

    Уравнение (2) есть математическая запись закона Ома для участка цепи с источником ЭДС в операторной форме. В соответствии с ним для ветви на рис. 1 можно нарисовать операторную схему замещения, представленную на рис. 2.

    Законы Кирхгофа в операторной форме

    Первый закон Кирхгофа: алгебраическая сумма изображений токов, сходящихся в узле, равна нулю

    Второй закон Кирхгофа:алгебраическая сумма изображений ЭДС, действующих в контуре, равна алгебраической сумме изображений напряжений на пассивных элементах этого контура

    При записи уравнений по второму закону Кирхгофа следует помнить о необходимости учета ненулевых начальных условий (если они имеют место). С их учетом последнее соотношение может быть переписано в развернутом виде

    В качестве примера запишем выражение для изображений токов в цепи на рис. 3 для двух случаев: 1 — ; 2 — .

    В первом случае в соответствии с законом Ома .

    Во втором случае, т.е. при , для цепи на рис. 3 следует составить операторную схему замещения, которая приведена на рис. 4. Изображения токов в ней могут быть определены любым методом расчета линейных цепей, например, методом контурных токов:

    Переход от изображений к оригиналам

    Переход от изображения искомой величины к оригиналу может быть осуществлен следующими способами:

    1. Посредством обратного преобразования Лапласа

    которое представляет собой решение интегрального уравнения (1) и сокращенно записывается, как:

    На практике этот способ применяется редко.

    2. По таблицам соответствия между оригиналами и изображениями

    В специальной литературе имеется достаточно большое число формул соответствия, охватывающих практически все задачи электротехники. Согласно данному способу необходимо получить изображение искомой величины в виде, соответствующем табличному, после чего выписать из таблицы выражение оригинала.

    Например, для изображения тока в цепи на рис. 5 можно записать

    Тогда в соответствии с данными табл. 1

    что соответствует известному результату.

    3. С использованием формулы разложения

    Пусть изображение искомой переменной определяется отношением двух полиномов

    Это выражение может быть представлено в виде суммы простых дробей

    где — к-й корень уравнения .

    Для определения коэффициентов умножим левую и правую части соотношения (3) на ( ):

    Рассматривая полученную неопределенность типа по правилу Лопиталя, запишем

    Поскольку отношение есть постоянный коэффициент, то учитывая, что , окончательно получаем

    Соотношение (4) представляет собой формулу разложения. Если один из корней уравнения равен нулю, т.е. , то уравнение (4) сводится к виду

    В заключение раздела отметим, что для нахождения начального и конечного значений оригинала можно использовать предельные соотношения

    которые также могут служить для оценки правильности полученного изображения.

    1. Основы теории цепей: Учеб. для вузов /Г.В.Зевеке, П.А.Ионкин, А.В.Нетушил, С.В.Страхов. –5-е изд., перераб. –М.: Энергоатомиздат, 1989. -528с.
    2. Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники: Электрические цепи. Учеб. для студентов электротехнических, энергетических и приборостроительных специальностей вузов. –7-е изд., перераб. и доп. –М.: Высш. шк., 1978. –528с.
    3. Теоретические основы электротехники. Учеб. для вузов. В трех т. Под общ. ред. К.М.Поливанова. Т.1. К.М.Поливанов. Линейные электрические цепи с сосредоточенными постоянными. –М.: Энергия- 1972. –240с.
    Читайте также:  Снятие вах трансформатора тока ретом 51

    Контрольные вопросы

    1. В чем заключается сущность расчета переходных процессов операторным методом?
    2. Что такое операторная схема замещения?
    3. Как при расчете операторным методом учитываются ненулевые независимые начальные условия?
    4. Какими способами на практике осуществляется переход от изображения к оригиналу?
    5. Для чего используются предельные соотношения?
    6. Как связаны изображение и оригинал в формуле разложения? Какие имеются варианты ее написания?

    С использованием теоремы об активном двухполюснике записать операторное изображение для тока через катушку индуктивности в цепи на рис. 6.

    С использованием предельных соотношений и решения предыдущей задачи найти начальное и конечное значения тока в ветви с индуктивным элементом.

    Источник

    Использование оператора Лапласа для описания электрических цепей переменного тока

    DSPL-2.0 — свободная библиотека алгоритмов цифровой обработки сигналов

    Распространяется под лицензией LGPL v3

    В предыдущем разделе мы рассмотрели выражения для прямого и обратного преобразования Лапласа, а также его некоторые свойства. Мы говорили, что преобразование Лапласа ставит в соответствие вещественному сигналу его образ , который определяет разложение сигнала по системе затухающих комплексных экспонент, где — комплексная переменная, — оператор преобразования Лапласа.

    В данном разделе мы рассмотрим использование аппарата преобразования Лапласа для описания цепей переменного тока, и рассмотрим понятие комплексного сопротивления двухполюсника и передаточной характеристики четырехполюсника . Мы также рассмотрим понятие комплексного коэффициента передачи , а также амплтудно- и фазочастотных характеристик фильтра.

    Рассмотрим следующий пример (рисунок 1):

    Пусть имеется одиночный замкнутый контур с сосредоточенными элементами: сопротивление (Ом), индуктивность (Гн) и емкость (Ф). В контуре имеется источник электродвижущей силы , который создает в контуре переменный ток . Падение напряжения на элементах цепи , и равно:

    Тогда можно заменить рисунок 1 как источник ЭДС , который нагружен на двухполюсник , как это показано на рисунке 2.

    Если мы выведем клеммы с емкости и будем измерять падение напряжения , то в терминах преобразования Лапласа:

    В данном примере, передаточная функция – безразмерная величина, характеризующая отношение образов выходного напряжения к образу исходной ЭДС .

    Обратим внимание, что согласно (6) преобразование Лапласа выходного напряжения четырехполюсника равно произведению передаточной функции и преобразования Лапласа исходной ЭДС . Тогда перейдя во временную область, используя свойства преобразования Лапласа, можно заключить, что напряжения на выходе фильтра равно свертке входной ЭДС и обратного преобразования от :

    Аналогично для двухполюсника согласно (5), и ток в контуре есть свертка исходной ЭДС и обратного преобразования Лапласа от функции комплексной проводимости :

    Рассмотрим свойства передаточной функции аналогового четырехполюсника на примере показанной на рисунке 3:

    Передаточная функция представляет собой рациональную функцию комплексной переменной c положительными вещественными коэффициентами (номиналы , и положительные вещественные)

    Отметим, что любой двухполюсник или четырехполюсник, который состоит из сосредоточенных элементов может быть описан комплексным сопротивлением или передаточной функцией вида [1]:

    Из курса теории функций комплексной переменной [2] известно, что функции вида (10) являются аналитическими и могут быть полностью описаны как:

    Мы уже отмечали, что сигнал на выходе четырехполюсника описывается сверткой исходного сигнала и импульсной характеристикой фильтра , согласно (7). При этом

    Также заметим, что при , , т.е. выражение (12) преобразуется к виду:

    Полученная характеристика носит название комплексного коэффициента передачи. Величина имеет смысл циклической частоты, а сам комплексный коэффициент передачи характеризует избирательные свойства фильтра с передаточной характеристикой в частотной области.

    Коэффициент передачи также является комплексным и может быть представлен в виде:

    Комплексную переменную можно отобразить на плоскости, тогда реальную и мнимую части и можно отобразить на 3-мерном графике, как это показано на рисунке 4.

    На 3-мерном рисунке 4 можно выделить горизонтальную плоскость , в которой можно отобразить нули и полюсы (показаны крестиками), а также вертикальную плоскость , в которой будет располагаться комплексный коэффициент передачи , который можно представить двумерными графиками и , или графиками АЧХ и ФЧХ в соответствии с (15)

    Ранее мы уже анализировали цепь, представленную на рисунке 3, и получили для нее выражение передаточной характеристики (9). На рисунке 5 показан 3-мерный график модуля , в зависимости от комплексной переменной . В плоскости крестиками показаны полюсы для значений (Ом), (Гн) и (Ф).

    В сечении вертикальной плоскостью имеем АЧХ контура (толстая сплошная линия). Приведенный график наглядно показывает связь частотных характеристик фильтра и его передаточной функции , определяемой полюсами в комплексной плоскости .

    Ранее мы рассмотрели использование аппарата преобразования Лапласа для анализа цепей переменного тока. Мы показали, что пассивный двухполюсник может описан функцией комплексного сопротивления или комплексной проводимости , а пассивный четырехполюсник может быть описан передаточной характеристикой . При этом функции , и представляют собой дробно-рациональные функции вида

    Однако, несмотря на то, что любой четырехполюсник может быть представлен передаточной функцией вида (16), отнюдь не любая функция (16) может быть реализована в виде пассивного четырехполюсника.

    В данном разделе мы рассмотрим условия физической реализуемости, которым должна удовлетворять передаточная функция , чтобы быть реализованной в виде пассивного четырехполюсника.

    Среди всех возможных дробно-рациональных функций (16) выделяют особый класс функций, которые удовлетворяют следующим условиям:

    • вещественна при вещественном аргументе ;
    • если .

    Такие функции называют положительными вещественными [1].

    В своих исследованиях О. Бруне [3] доказал, что передаточная характеристика любого пассивного четырехполюсника с сосредоточенными элементами является положительной вещественной функцией. Также было доказано, что любая положительная вещественная передаточная функция может быть реализована в виде пассивного четырехполюсника.

    Первое условие выполняется если все коэффициенты и являются вещественными. Проверить второе условие в общем случае довольно сложно, однако для передаточных функций вида (16) выработаны критерии проверки второго условия положительных вещественных функций (16):

    • Разность высших степеней полиномов и не должна превышать единицы, если ;
    • Разность низших степеней полиномов и также не должна превышать единицы;
    • Коэффициенты и являются вещественными неотрицательными;
    • Все нули и полюсы передаточной характеристики должны располагаться в левой полуплоскости комплексной плоскости или на мнимой оси ;
    • Все нули и полюсы на мнимой оси должны быть простыми (некратными).

    Разность высших и низших степеней полиномов числителя и знаменателя вытекает из условия некратности нулей и полюсов на мнимой оси .

    Для того чтобы понять необходимость условия 4 рассмотрим следующий пример. Пусть передаточная функция задана выражением (16), при этом дробь правильная, т.е. степень полинома числителя меньше степени полинома знаменателя . Тогда разложив полиномы числителя и знаменателя на множители получим представление (16) в виде:

    Предположим, что все полюсы простые, тогда правильную рациональную дробь можно представить суммой вида [4, стр. 203]:

    Перейдем от передаточной характеристики к временно́й импульсной характеристике . Для этого возьмем обратное преобразование Лапласа:

    Таким образом, можно сделать вывод, что если все полюсы простые, то они не должны располагаться в правой полуплоскости . При этом если полюсы расположены в левой полуплоскости, то и имеет место затухающая импульсная характеристика (19). Если же полюс расположен на мнимой оси, т.е. и содержит незатухающие компоненты .

    Рассмотрим теперь, что произойдет, если передаточная функция имеет полюс кратности два. Это означает, что разложение в сумму простейших дробей будет иметь вид [4, стр. 203]:

    Тогда использую таблицу преобразований Лапласа [5, стр. 262], импульсную характеристику можно представить:

    Таким образом мы обосновали необходимость условия 5, которое требует, чтобы полюсы на мнимой оси комплексной плоскости были простыми.

    В данном разделе мы рассмотрели использование аппарата преобразования Лапласа для описания цепей переменного тока. Мы произвели переход от интегро-дифференциальных уравнений во времени к алгебраическим уравнениям в Лаплас-образах от токов и напряжений в контуре. В результате были введены понятия комплексного сопротивления двухполюсника и передаточной функции четырехполюсника.

    Также произведен анализ некоторых свойств передаточных функций аналоговых четырехполюсников, введено понятие амплитудно-частотной и фазочастотной характеристики фильтра. Особое внимание уделено геометрической трактовке передаточной функции и ее параметров как 3-мерной функции и приведены характеристики фильтра как сечения 3-мерной функции различными плоскостями.

    Особое внимание уделено вопросам физической реализуемости передаточных характеристик аналоговых фильтров. Были приведены условия физической реализуемости передаточной характеристики фильтра с использованием пассивных компонент.

    Источник

    3. Операторный метод расчета переходных процессов

    3.1. Введение к операторному методу

    Операторный метод основан на использовании понятия об изображении функций времени. В операторном методе каждой функции времени соответствует функция новой переменной, обозначаемой буквой р, и наоборот— функции переменной р отвечает определенная функция времени.

    Переход от функции времени к функции от р осуществляют с помощью прямого преобразования Лапласа.

    Таким образом, операторный метод расчета переходных процессов представляет собой метод расчета, основанный на преобразовании Лапласа.

    Операторный метод позволяет свести операцию дифференцирования к умножению, а операцию интегрирования — к делению. Это облегчает интегрирование дифференциальных уравнений.

    В операторном методе расчет делится на две части:

    1. Осуществляют переход в область изображений (оригинал переводят в изображение не как в фотографии, а преобразование). С помощью преобразования Лапласа дифференциальные уравнения переходных процессов удается заменить алгебраическими;

    2. Находят решения в операторной области и осуществляют возврат в область оригинала. В общем случае обратное преобразование осуществляют с помощью интеграла Бромвича. В электрических задачах этим интегралом не пользуются, а применяют теоремуразложенияилиинтеграл сверток.

    Оригинал– это любая функция или параметр цепи в области времени.

    Изображение – это преобразованный оригинал с помощью интеграла Лапласа.

    р— оператор Лапласа (в общем случае может быть комплексным числом).

    Интеграл прямого преобразования Лапласа имеет вид:

    .

    Если есть оригинал f(t), от которого можно взять интеграл Лапласа, то ему соответствует изображениеF(p).

    3.2. Изображения по Лапласу основных электрических величин, используемых при расчетах переходных процессов

    Изображение по Лапласу оригинала в виде постоянной во времени величины

    Пусть оригинал является постоянной величиной f(t)=U =const. Вычислим интеграл Лапласа:.

    Постоянной величине в области изображения соответствует эта же постоянная, делённая на оператор «р».

    Не всегда размерность оригинала соответствует размерности изображения.

    Существует такое преобразование, аналогичное преобразованию Лапласа, в котором совпадают размерности – это преобразование Карсона: C(p)=pF(p).

    Преобразование Карсона здесь рассматривать не будем.

    Изображение показательной функции

    Если , то изображение:

    Таким образом: .

    Отсюда вытекает ряд важных следствий. Положив =j, получим

    Функции е t соответствует изображение:

    Если функция времени представляет собой синусоидальную величину, например, ЭДС , тоE(p), при, равно:

    .

    Изображение по Лапласу комплексной величины

    Пусть, тогда, и функция времени может быть выражена через комплекс напряжения. Подвергнем вращающийся комплекс преобразованию Лапласа:.

    Изображение по Лапласу производной функции времени

    Известно, что функ­ции f(t) соответствует изображение F(р). Требуется найти изображение первой производной, если известно, что значение функцииf (t)приt=0равно f(0).

    Подвергнем функцию преобразованию Лапласа:

    Интегрирование произведем по частям. Обозначив и,

    Имеем:

    Следовательно, .

    Но a

    Таким образом,

    Изображение напряжения на индуктивности

    Исходить будем из условия, что оригиналу тока i соответствует изображение тока I(р). Запишем оригинал напряжения на индуктив­ности:

    По формуле определим изображение производной тока:

    где t (0)- значение тока i при t=0.

    Следовательно, . Если i(0)=0, то

    Изображение второй производной

    Следовательно, изображение второй производной тока i.

    Изображение интеграла функции времени

    Требуется найти изображение функции , если известно, что изображение функции f(t) равно F(р).

    Подвергнем функцию преобразованию Лапласа:

    и возьмем интеграл по частям:

    Первое слагаемое правой части при подстановке и верхнего и ниж­него пределов дает нуль. При подстановке верхнего предела нуль получается за счет ранее наложенного ограничения на функцию f(t): функцияf(t)если и растет с увеличениемt, то все же медленнее, чем растет функцияе at , гдеа– действительная частьр. При подстановке нижнего предела нуль получается за счет обращения в нуль. Следовательно, еслито

    Изображение напряжения на конденсаторе

    Напряжение на конденсаторе часто записывают в виде, где не

    указаны пределы интегрирования по времени. Более полной является следующая запись: где учтено, что к моменту времени t напряжение на конденсаторе определяется не только током, протекавшим через конденсатор в интер­вале времени от 0 до t, но и тем напряжениемкоторое на нем было при t=0. В соответствии с формулой Лапласа изображениеравно, а изображение постояннойесть постоянная, деленная на р. Поэтому изображение напряжения на конденсаторе запи­сывают следующим образом:

    Источник

    

    3.2. Изображения по Лапласу основных электрических величин, используемых при расчетах переходных процессов

    Изображение по Лапласу оригинала в виде постоянной во времени величины

    Пусть оригинал является постоянной величиной f(t) = U = const. Вычислим интеграл Лапласа:

    Постоянной величине в области изображения соответствует эта же постоянная, делённая на оператор (р).

    Не всегда размерность оригинала соответствует размерности изображения.

    Существует такое преобразование, аналогичное преобразованию Лапласа, в котором совпадают размерности – это преобразование Карсона:

    Преобразование Карсона здесь рассматривать не будем.

    Изображение показательной функции

    Если функция времени представляет собой показательную функцию , то изображение можно получить с помощью интеграла Лапласа:

    Отсюда вытекает ряд важных следствий.

    1) Положив a = jw, получим:

    2) Функции е -? tt соответствует изображение:

    Если функция времени представляет собой синусоидальную величину, например,

    Изображение по Лапласу комплексной величины

    Пусть , тогда при t = 0, и функция времени может быть выражена через комплекс напряжения:

    Подвергнем вращающийся комплекс преобразованию Лапласа:

    Изображение по Лапласу производной функции времени

    Известно, что функ­ции f(t) соответствует изображение F(р). Требуется найти изображение первой производной , если известно, что значение функции f(t) при t = 0 равно f(0).

    Подвергнем функцию преобразованию Лапласа:

    Интегрирование произведем по частям. Обозначив и , получим:

    Изображение напряжения на индуктивности

    Исходить будем из условия, что оригиналу тока i соответствует изображение тока I(р). Запишем оригинал напряжения на индуктив­ности:

    По формуле определим изображение производной тока:

    где i(0) – значение тока i при t = 0. следовательно,

    Изображение второй производной

    Аналогично тому, как было получено изображение первой производной, получаем изображение второй производной

    Следовательно, изображение второй производной тока i:

    Изображение интеграла функции времени

    изображение функции , если известно, что изображение функции f(t) равно F(р).

    функцию преобразованию Лапласа:

    и возьмем интеграл по частям:

    Первое слагаемое правой части полученного выражения при подстановке и верхнего, и ниж­него предела дает нуль.

    При подстановке верхнего предела нуль получается за счет ранее наложенного ограничения на функцию f(t): функция f(t) если и растет с увеличением t, то все же медленнее, чем растет функция е at , где а – действительная часть корня р.

    При подстановке нижнего предела нуль получается за счет обращения в нуль .

    Следовательно, если то

    Изображение напряжения на конденсаторе

    Напряжение на конденсаторе ( )

    часто записывают в виде:

    где не указаны пределы интегрирования по времени. Более полной является следующая запись:

    где учтено, что к моменту времени t напряжение на конденсаторе определяется не только током, протекающим через конденсатор в интер­вале времени от 0 до t, но и тем напряжением которое на нем было при t = 0.

    В соответствии с формулой Лапласа оригиналу соответствует изображение , а изображение постоянной есть постоянная, деленная на р. Поэтому изображение напряжения на конденсаторе запи­сывают следующим образом:

    Источник