Меню

Исследование цепи с несинусоидальными токами

Несинусоидальный ток

С синусоидальными токами в более или менее чистом виде приходится иметь дело только в электротехнике. В радиотехнике же, как правило, приходится иметь дело с несинусоидальными токами. Переменная составляющая тока, проходящего через микрофон или динамик, создается звуковыми колебаниями, которые в большинстве случаев являются несинусоидальными.

Несмотря на это, изучение переменных синусоидальных токов совершенно необходимо для радиотехника. Дело в том, что любой периодический несинусоидальный ток можно представить в виде суммы нескольких синусоидальных токов.

Например, несинусоидальный периодический ток, представляющий собой прямоугольные импульсы, график которого изображен на рисунке 1, можно представить в виде суммы двух синусоидальных токов.

Рисунок 1. Простейший несинусоидальны ток: а) спооб получения; б) график.

Графики этих токов и их суммирование показано на рисунке 2

ne-sinusoidalnyj-tok-1-3-garmoniki
Рисунок 2. Получение несинусоидального прямоугольного тока из двух синусоидальных.

Весьма любопытно то, что при всяком разложении несинусоидального периодического тока на его синусоидальные составляющие частоты последних всегда относятся между собой как целые числа (1, 2, 3, 4 и т. д.) Например, в случаях, изображенных на рисунке 2, частоты синусоидальных составляющих относятся, как 1, 3.

Все составляющие несинусоидального тока называются его гармониками, причем составляющая, имеющая самую низкую частоту, называется первой гармоникой, составляющая с вдвое большей частотой — второй гармоникой и т. д.

Для более точного воспроизведения заданного несинусоидального тока (рисунок 2) потребуется ввести составляющие с более высокими частотами, которые будут в 7, 9, 11 и т. д. раз больше самой низкой или, как говорят, основной частоты.

На рисунки 3 представлено суммирования трех гармоник для получения несинусоидального тока в виде прямоугольных импульсов.

ne-sinusoidalnyj-tok-1-3-5-garmoniki
Рисунок 3. Получение несинусоидального прямоугольного тока из трех синусоидальных.

Из рисунка видно, что большее количество суммируемых гармоник более приближает форму ток к заданному (прямоугольным импульсам).

Наличие тех или иных гармоник, а также их амплитуды и фазы зависят от формы несинусоидального тока. В примере, изображенном на рисунке 3, присутствуют только нечетные гармоники. В других случаях могут быть только четные гармоники или те и другие вместе (рисунок 4,5).

ne-sinusoidalnyj-tok-1-2-garmoniki
Рисунок 4. Несинусоидальный ток, в состав которого входят только 1-я и 2-я гармоники.

ne-sinusoidalnyj-tok-1-2-3-garmoniki
Рисунок 5. Несинусоидальный ток, в состав которого входят 1-я, 2-я и 3-я гармоники..

Выше всюду речь шла о периодических несинусоидальных токах, т. е. о таких токах, все значения которых повторяются через определенный период времени. Непериодические токи также можно представить в виде суммы синусоидальных составляющих, однако в этом случае число этих составляющих будет бесконечно большим, а частоты соседних составляющих будут отличаться одна от другой на бесконечно малые величины. Таким образом, непериодические токи, например токи от атмосферных помех, можно представить лишь в виде сплошного спектра синусоидальных колебаний, в котором будут иметься токи всех частот.

ПОНРАВИЛАСЬ СТАТЬЯ? ПОДЕЛИСЬ С ДРУЗЬЯМИ В СОЦИАЛЬНЫХ СЕТЯХ!

Источник

Лабораторная работа №15. Исследование линейной электрической цепи при периодических несинусоидальных токах

Лабораторные работы Электротехника Лабораторные работы Лабораторное оборудование Электрический ток

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №15

ИССЛЕДОВАНИЕ ЛИНЕЙНОЙ ЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ ЦЕПИ

ПРИ ПЕРИОДИЧЕСКИХ НЕСИНУСОИДАЛЬНЫХ ТОКАХ

¨ Изучить методику расчета линейных электрических цепей, подключенных к источнику периодического несинусоидального напряжения.

¨ Сравнить форму кривых несинусоидального тока: а) полученную расчетным путем и б) скопированную с экрана осциллографа.

¨ Рассчитать и измерить действующее значение несинусоидального тока. Сопоставить результаты.

2. УКАЗАНИЯ К РАБОТЕ

В электронике, автоматике, контрольно-измерительной и вычислительной технике, а также во многих других областях наряду с синусоидальными токами и напряжениями широко используются периодические токи и напряжения других форм. Несинусоидальные токи возникают в электрических цепях, если в них действуют источники несинусоидальных напряжений или если цепь содержит нелинейные элементы (диоды, транзисторы, варисторы и т. п.).

Расчет линейных цепей с источниками несинусоидального напряжения производится по методу наложения в сочетании с известными методами расчета цепей постоянного и синусоидального токов. Базой для расчета является разложение периодической несинусоидальной функции напряжения u(wt) в ряд Фурье:

u(wt) = U0 + Um1sin(wt + a1) + Um2sin(2wt + a2) + … + Umksin(kwt + ak), (1)

где: U0 — постоянная составляющая ряда (нулевая гармоника);

Um1 — амплитуда первой (основной) гармоники;

Um2 … Umk — амплитуды высших гармоник;

a1, a2 . ak — начальные фазы гармонических составляющих напряжения.

Согласно принципу суперпозиции (наложения) каждая гармоника напряжения в ряде Фурье рассматривается как независимый источник ЭДС. Нулевая гармоника U0 представляется в виде источника постоянного тока. А основная и высшие гармоники — в виде источников синусоидального напряжения кратной частоты.

При определении тока от нулевой гармоники I0 применяются известные методы расчета цепей постоянного тока. При этом следует иметь в виду, что индуктивное сопротивление xL0 = 0, а емкостное сопротивление бесконечно велико xC0 = ¥.

Расчет токов от основной и высших гармоник напряжения обычно выполняется с помощью комплексных чисел. При расчете необходимо учитывать, что индуктивное сопротивление k-ой гармоники в k раз больше, чем индуктивное сопротивление первой гармоники

xLk = kwL = kxL1. (2)

Емкостное сопротивление k-ой гармоники в k раз меньше, чем емкостное сопротивление первой гармоники

xCk = 1/kwC = xС1/k (3)

Мгновенные значения всех найденных токов суммируются и полученный ряд представляет собой искомый несинусоидальный ток цепи i(wt).

3. РАБОЧЕЕ ЗАДАНИЕ

Лабораторная работа состоит из двух разделов расчетного и экспериментального. В начале выполняется расчетная часть.

3.1. Расчетная часть

По вышеизложенной методике определяется форма кривой i(wt) и действующее значение тока в линейной электрической цепи с последовательным соединением элементов R, L и C (Рис.1), подключенной к источнику периодического напряжения прямоугольной формы (меандр) Рис.2.

Данные для расчета: Um = 6 ¸ 12 (В); f = 25 ¸ 60 (Гц); R = 1000 ¸ 1100 (Oм);

L = 5 ¸ 10 (Гн); С = 0,5 ¸ 1,0 (мкФ).

Конкретные числа задает преподаватель.

Порядок расчета:

а) Выполняется разложение заданной функции напряжения в ряд Фурье (Для наиболее распространенных функций разложение приведено в справочниках)

Читайте также:  Осмотр машины постоянного тока

u(wt) = U0 + . (4)

б) В зависимости от требуемой точности расчета выбирается число членов ряда (Для ориентировочных расчетов достаточно четырех).

в) Определяется постоянная составляющая тока I0 (ток нулевой гармоники)

где: z0 — эквивалентное сопротивление цепи при f = 0.

г) Определяются амплитуды напряжения каждой гармоники в комплексной форме

mk = Umk e, (6)

д) Определяется амплитуда тока каждой гармоники в комплексной форме

mk =mk /k = Imke , (7)

где: k — комплексное сопротивление гармоники.

е) Записывается мгновенное значение тока каждой гармоники

ik = Imksin(kwt + bk). (8)

ж) Результатом расчета является несинусоидальная функция тока, представленная на миллиметровке в виде суммы гармоник:

i(wt) = I0 + Im1sin(wt +b1) + Im2sin(2wt + b2) + … + Imksin(kwt +bk). (9)

При построении гармоник на общем графике следует учитывать, что масштаб по оси абсцисс для к — ой гармоники должен быть взят в к — раз большим, чем для первой гармоники.

з) Вычисляется действующее значение несинусоидального тока

I =(I02 + Im12/2 + … + Imk2/2)1/2 (10)

Результаты расчета предъявляются преподавателю, после чего студенты приступают к выполнению экспериментальной части.

3.2. Экспериментальная часть

Получить полный текст Подготовиться к ЕГЭ Найти работу Пройти курс Упражнения и тренировки для детей

Схема лабораторной установки изображена на рис.3.

В схеме использовано следующее оборудование:

* магазин сопротивлений Р-33;

* индуктивность (L) обмотка А-Х трансформатора;

* генератор звуковых частот ГЗ-111;

* осциллограф электронный С1-83.

3.2.1. Подготовка осциллографа С1-83 (С1-93) к работе

* Подключить разъем соединительного кабеля к гнезду 0 1мW 35 рF входа канал I.

* Нажать кнопку I переключателя канала слева от экрана.

* У осциллографа С1-83 поставить кнопку множителя в положение ´10 (“утоплено”).

* Рычажок характер входа Ñканал I поставить в положение @.

* На блоке развертка поставить ступенчатый переключатель время/дел. в положение 1ms.

* На блоке синхронизация нажать кнопки I внутр. и .

* Включить вилку сетевого шнура в одну из розеток, подсоединенных к клеммам 220В на панели питания стенда.

* Включить автомат АП на стенде.

* Включить питание осциллографа, вытянув кнопку питание. При этом загорается сигнальная лампочка рядом с кнопкой.

* Через 2 — 3 минуты на экране появится изображение горизонтальной линии.

* Отрегулировать степень яркости и фокусировки.

* Ручкой ­ вывести горизонтальную линию в середину экрана.

* Произвести калибровку канала вертикального отклонения луча. Для этого установить ступенчатый переключатель v/дел. в положение 6 дел. Ручку плавной регулировки, расположенную на оси ступенчатого переключателя, установить в крайнее правое положение (повернуть по часовой стрелке). При этом величина изображения сигнала на экране должна быть равен 6 делениям. После проведенной калибровки осциллограф можно использовать для измерения напряжений как вольтметр.

* Установить ступенчатый переключатель V/дел. в положение 0,2 v/дел. Масштабный коэффициент вертикального отклонения луча: Мв = 0,2 V/дел´10 = 2 V/дел.

3.2.2. Подготовка генератора ЗГ-111 к работе

* Ступенчатый переключатель частоты множитель установить в положение 1.

* Вращением ручка частота Hz установить на круглой шкале частоту заданную преподавателем.

* Поставить тумблер режима работы в положение прямоугольных импульсов.

* Включить вилку сетевого шнура в розетку 220 В.

* Установить заданную преподавателем амплитуду напряжения прямоугольной формы. Для этого подключить кабель осциллографа к левым выходным гнездам генератора, соблюдая маркировку на штекерах кабеля (штекер, снабженный символом ^ , или имеющий более длинный вывод, подключается к гнезду ^.). На экране осциллографа появится изображение периодического прямоугольного напряжения.

* вращением регулятора уровня установить значение Um, контролируя величину по экрану осциллографа.

3.2.3. Экспериментальное определение формы несинусоидального тока

* Отключить сетевой шнур генератора ГЗ-111 от сети 220 В.

* Отключить кабель осциллографа от генератора ГЗ-111.

* Собрать схему, изображенную на рис.3.

* Установить на магазине сопротивления Р-33 R = 1000(Ом).

* Включить сетевой шнур генератора ГЗ-111 в розетку.

* Установить четкое и удобное для копирования изображение кривой тока на экране осциллографа.

* Тщательно перенести изображение на миллиметровку.

* Сравнить с формой тока, полученной расчетным путем. Сделать выводы о причинах расхождения.

3.2.4. Гармонический синтез кривой несинусоидального тока

(выполняется по заданию преподавателя)

На собранную ранее схему (рис.3.) вместо напряжения прямоугольной формы U(wt) следует подавать поочередно полученные в результате гармонического анализа составляющие ряда Фурье: U0; Um1sin(wt + a1); Um2sin(2wt + a2) и т. д.

Каждая гармоника (кроме нулевой) формируется генератором ГЗ-111, при этом необходимо переключить выход генератора на синусоидальный (правые клеммы) и переключить тумблер режима работы на синусоидальный выходной сигнал.

Последовательность выполнения:

* Вход осциллографа подключить к синусоидальному выходу ГЗ-111.

* Установить частоту, соответствующую первой гармонике.

* Установить амплитуду первой гармоники входного напряжения Um1.

* Отключить сетевой шнур генератора ГЗ-111 от сети 220 В.

* Отключить кабель осциллографа от генератора ГЗ-111 и подключить к схеме в соответствии с рис.3.

* Включить сетевой шнур генератора ГЗ-111 в розетку.

* Установить четкое изображение кривой тока на экране осциллографа.

* Измерить амплитуду первой гармоники тока (имея в виду, что осциллограф измеряет падение напряжения на резисторе R = 1000 Ом).

* Повторить измерения для всех выбранных для расчета гармоник.

* Построить на миллиметровке гармоники тока (начальные фазы взять из расчетов). Путем геометрического суммирования определить результирующую кривую тока.

Получить полный текст Подготовиться к ЕГЭ Найти работу Пройти курс Упражнения и тренировки для детей

* Сравнить результирующую кривую с полученной экспериментально, сделать выводы.

3.3. Содержание отчета

Отчет по работе должен содержать следующие разделы:

* название и цель работы;

* электрические схемы исследуемых цепей;

* технические характеристики используемых измерительных приборов;

* результаты расчетов в виде кривой несинусоидального тока и ее гармонических составляющих;

* результаты измерений в виде четырех графиков: на каждом из первых трех изображена гармоника напряжения и соответствующая ей гармоника тока; на четвертом показана, скопированная с экрана, кривая несинусоидального тока i = f(wt);

* выводы по работе.

4. КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

Что является причиной возникновения в электрических цепях несинусоидальных периодической токов и напряжений?

Каким образом производится расчет линейных электрических цепей несинусоидального тока?

Как определяется действующее значение несинусоидального периодического тока?

Читайте также:  Supra stv lc39520fl уменьшить ток подсветки

Как определяется среднее значение несинусоидального периодического тока?

Как определяется активная мощность цепи периодического несинусоидального тока?

Как определяется коэффициент амплитуды?

Как определяется коэффициент формы?

Как определяется коэффициент искажения?

Конспект лекций по курсу “Теоретические основы электротехники”

. Теоретические основы электротехники, часть 1, “Энергия”, 1965.

. Теоретические основы электротехники, часть 1, “Энергия”, 1966.

и др. Электротехника, “Энергоатомиздат», 1987.

Источник

Электрические цепи несинусоидального тока

Несинусоидальные токи и их разложение

Электрические цепи несинусоидального токаВ электрической цепи несинусоидальные токи могут возникнуть по двум причинам:

сама электрическая цепь является линейной, но на цепь действует несинусоидальное напряжение,

воздействующее на цепь напряжение является синусоидальным, но электрическая цепь содержит нелинейные элементы.

Может иметь место также наличие обеих указанных причин. В данной главе рассматриваются цепи только по первому пункту. При этом считается, что несинусоидальные напряжения являются периодическими.

Генераторы периодических импульсов применяются в различных устройствах радиотехники, автоматики, телемеханики. Форма импульсов может быть различной: пилообразной, ступенчатой, прямоугольной (рис. 1).

Формы импульсов

Рисунок 1. Формы импульсов

Явления, происходящие в линейной электрической цепи при периодических, но несинусоидальных напряжениях, проще всего поддаются исследованию, если кривую напряжения разложить в тригонометрический ряд Фурье:

Первый член ряда А0 называется постоянной составляющей или нулевой гармоникой, второй член ряда

— основной или первой гармоникой, а все остальные члены вида

при к>1 носят название высших гармоник.

Если в выражении (3.1) раскрыть синус суммы, то можно перейти и к другой форме записи ряда:

Некоторые примеры разложения в ряд приведены в табл. 1, а также они имеются в справочной литературе.

Разложение в ряд Фурье

Таблица 1. Разложение в ряд Фурье

Расчет цепей несинусоидального тока

Расчет цепи производится для каждой гармоники по модельности. Цепь рассчитывается столько раз, сколько гармоник содержит воздействующее на цепь напряжение. При этом необходимо учитывать ряд особенностей.

Надо иметь в виду, что сопротивление индуктивного элемента возрастает с ростом номера гармоники

а емкостного элемента напротив уменьшается:

Также надо учитывать, что постоянная составляющая тока не проходит через емкость, а индуктивность не представляет для нее сопротивление.

Кроме того, следует не забывать возможные резонансные явления не только на основной гармонике, но и на высших гармониках.

Векторные диаграммы можно строить для каждой гармоники отдельно.

Согласно принципу наложения ток любой ветви может состоять из суммы отдельных слагаемых (нулевой, основной и высших гармоник):

Действующие значение полного тока ветви может быть определено через действующее значение токов отдельных гармоник:

Активная мощность несинусоидального тока равна сумме активных мощностей отдельных гармоник:

Ниже приводится в общем виде пример расчета цепей несинусоидального тока. Все токи, напряжения, сопротивления будут иметь два индекса: первая цифра означает номер ветви, а вторая цифра – номер гармоники. Входное напряжение:

Источник



Исследование цепи с несинусоидальными токами

Цепи несинусоидального периодического тока

Цепями периодического несинусоидального тока называются цепи токи в ветвях которых или напряжения на ветвях которых носят несинусоидальный периодический характер. Причинами возникновения в электрических цепях несинусоидальных периодических токов являются

1.Несовершенство (неидеальность) источников синусоидальных напряжений и токов.

2. Наличие в ветвях эл. цепей генераторов напряжений и токов специальной формы ( прямоугольной, пилообразной, трапециедальной и т.п.)

3. Наличие нелинейных элементов в ветвях эл. цепей.

1. Представление несинусоидальных напряжений и токов рядами Фурье

Из курса математики известно, что любую несинусоидальную периодическую функцию F ( w t ) удовлетворяющую условиям Дирихле, т.е. имеющую за полный период конечное число максимумов, минимумов и разрывов первого рода, можно представить в виде ряда Фурье

где К=1, 2, 3….или представить в виде суммы бесконечного числа гармонических составляющих с частотами целыми и кратными основной частоте w . При этом все амплитудные коэффициенты ряда определяются формулами Эйлера -Фурье

Для основных типов периодических функций, имеющих прямоугольную, треугольную, трапециевидную и др. формы, выражения для коэффициентов ряда Фурье приводятся в справочниках. Примеры разложений несинусоидальных периодических сигналов типовых форм приведены на рис.10.1.

В тех случаях, когда представить аналитически несинусоидальную функцию не представляется возможным или она задана в виде графика (или осциллограммы), амплитудные коэффициенты ряда можно получить графо-аналитически.

Этот метод основан на замене определенного интеграла суммой конечного числа слагаемых. Для этого период функции f( w t)=f(x) разбивается на n равных отрезков D X=2 p /n, как показано на рис.10.2. и находятся значения функции f(x) в середине каждого интервала.

После этого вычисляют коэффициенты ряда по формулам

где f p (x), Cos p kx , Sin p kx -значение функции f(x), Cos kx и Sin kx в середине р-го интервала или

f p (x)= f(x) Ѕ x=(p-0.5) D x, Cos p kx= Coskx Ѕ x=(p-0.5) D x, Sin p kx= Sinkx Ѕ x=(p-0.5) D x.

После тривиальных преобразований ряд (10.1) можно переписать в виде

Таким образом после разложения аналитического или графо-аналитического периодические несинусоидальные ток и напряжение можно представить в виде

i = I 0 + I 1m sin( w t + y i 1 ) + I 2m sin(2 w t + y i 2 ) + ј + I rm sin(k w t + y i k ))+ ј , (10.3)

u = U 0 + U 1m sin( w t + y u1 ) + U 2m sin(2 w t + y u2 ) + ј + U km sin(k w t + y uk ))+ ..10.4)

Первыe члены рядов (10.3) и (10.4) ( I 0, U 0 ) называются постоянными составляющими или нулевыми гармоникми. Вторые члены I 1m sin( w t + y i 1 ) и U 1m sin( w t + y u1 ) имеют частоту равную частоте несинусоидальной периодической функции f( w t ) и называются первыми или основными гармоническими составляющими (коротко — гармониками). Остальные члены ряда вида A k sin( k w t + y k ) имеют частоты в целое число раз k больше частоты основной гармоники и называются высшими гармоническим составляющими или гармониками . Каждая высшая гармоника в отдельности именуется по номеру k , т.е. вторая гармоника, третья гармоника и т.д.

2. Мгновенные, средние и действующие значение несинусоидальных периодических величин.

Выражение (10.3) и (10.4) характеризуют мгновенные значения несинусоидальных тока и напряжения.

При несинусоидальных периодических токах и ЭДС в электрической цепи возможно ввести понятия действующих значений аналогично тому, как это было сделано для синусоидальных величин.

Действующее значение тока I определяется через мгновенные значения как

Читайте также:  Как определить силу тока сварочного аппарата

Если представить периодический несинусоидальный ток в виде (10. 3 ) и подставить в (10.5), то после интегрирования получим

Следовательно, действующее значение несинусоидального периодического тока равно корню квадратному из суммы квадратов постоянной составляющей и действующих значений всех гармоник.

Проведя аналогичные выкладки, можно получить выражения для действующих значений ЭДС и падения напряжения в виде

Средние за период значения несинусоидальных напряжений и токов определяются интегралом за период от соответствующего мгновенного значения и если последние представлены в виде соответственно ( 10. 3 ) и (10.4 ), то

Как видно, средние за период значения несинусоидальных периодических величин равны их постоянным составляющим.

Средние по модулю или средние за положительный полупериод значения несинусоидальных напряжений и токов определяются интегралом за период от соответствующего мгновенного значения и если последние представлены в виде соответственно (10. 3 ) и (10.4 ), то

3. Оценка формы кривых несинусоидальных периодических величин

Как уже упоминалось выше, реальные источники электрической энергии в силу конструктивных особенностей формируют ЭДС и токи, отличающиеся от синусоидальных. Чаще всего эти величины симметричны, т.к. симметрична конструкция электромеханических генераторов, и не содержат четных гармоник.

Для оценки формы симметричных кривых используют коэффициенты формы k f , амплитуды k A и искажений k d .

Под коэффициентом формы k ф понимают отношение действующего значения к среднему значению, взятому за положительную полуволну, т.е.

K ф = U /U ср мод.

Для синусоидальных величин k ф » 1.11.

Под коэффициентом амплитуды k A понимают отношение амплитудного значения несинусоидальной величины к действующему, т.е.

(для синусоиды это значение равно 1.414)

Коэффициент искажений k и это отношение действующего значения основной гармоники к действующему значению несинусоидальной кривой, т.е.

Поскольку идеальных синусоидальных величин практически не бывает, то в технике существует понятие практически синусоидальных кривых. Форма кривой считается практически синусоидальной, если все ее ординаты отличаются от ординат первой гармоники не более, чем на 5%. При этом количество контрольных точек должно быть не менее 12.

4. Мощность в цепях несинусоидального тока

Определим теперь среднюю мощность P в цепи при несинусоидальных токах и напряжениях. Она всегда может быть выражена в виде

Подставляя в это выражение напряжение и ток, представленные выражениями (10. 3 ) и ( 10. 4 ), получим

P=U 0 I 0 + U 1 I 1 Cos j 1 +…+ U k I k Cos j k +…,

где j k = y uk — y i k -фазовый сдвиг между к-ми гармониками напряжения и тока.

Из выражения (10.7) следует, что средняя или активная мощность в цепи с несинусоидальными токами и напряжениями равна сумме средних или активных мощностей отдельных гармоник .

По аналогии с цепями синусоидального тока можно ввести понятие полной или кажущейся мощности как произведение действующих значений тока и напряжения S = UI , тогда отношению P /( UI ) можно придать смысл коэффициента мощности cos j э .

Выражение нормально справедливо для некоторой электрической цепи синусоидального тока, в которой протекает ток с действующим значением I и существует падение напряжения U . При этом в цепи выделяется активная мощность P . Следовательно, при изучении некоторых явлений несинусоидальные токи и напряжения, не содержащие постоянных составляющих, можно заменить эквивалентными им по действующему значению синусоидальными со сдвигом фаз между ними j э , соответствующим коэффициенту мощности несинусоидальных величин .

Для цепи несинусоидального тока реактивную мощность определить формально по аналогии с активной мощностью в виде

Q = U 1 I 1 sin j 1 + U 2 I 2 sin j 2 + ј + U k I k sin j k + FACE=»Symbol» SIZE=4>ј

Без доказательства отметим, что в цепях несинусоидального тока не существует связи между активной, реактивной и полной мощностью в виде треугольника мощностей , т.е..

5. Расчет линейных ЭЦ с источниками периодических несинусоидальных напряжений и токов

Если все элементы электрической цепи с несинусоидальными токами и напряжениями линейны, т.е. параметры элементов не зависят от токов и падений напряжения, то анализ электромагнитных процессов в них можно проводить, используя разложение в ряды Фурье.

Расчет цепи при несинусоидальных токах проводится аналогично расчету при синусоидальных, но он должен выполняться отдельно для каждой гармоники, т.е. алгоритм расчета следующий:

-представить действующую в цепи ЭДС или ток рядом Фурье

-любыми методами расчета цепей синусоидального тока произвести расчет отдельно для каждой гармоники спектра;

-по полученному спектру искомых величин найти требуемые значения.

Пусть требуется найти активную мощность в цепи на рис.10.3 , где приложенное напряжение равно u ( t )=10+20sin(1000 t — 30 ° )+5sin(3000 t +45 ° ) В, а параметры элементов R = 20 Ом, C = 50 мкФ и L = 5 мГн.

Спектр приложенного напряжения содержит постоянную составляющую или нулевую гармонику, а также первую и третью гармоники.

Реактивные сопротивления цепи зависят от частоты. Для k -й гармоники их можно представить через сопротивления на частоте основной гармоники в виде

X Lk =k w 1 L=kX L1 ; X Ck =1/k w 1 C=X c1 /k;

где x L 1 = w 1 L = 5 Ом и x C 1 = 1/( w 1 C ) = 20 Ом — индуктивное и емкостное сопротивления на частоте основной гармоники. При расчете реактивных сопротивлений можно формально считать постоянную составляющую нулевой гармоникой. При этом x L 0 = 0, а x C 0 = µ , что соответствует отсутствию этих элементов и вполне согласуется с теорией цепей постоянного тока, где в статических режимах реактивных элементов нет.

Общее комплексное сопротивление цепи на частоте k -й гармоники будет

Подставляя в это выражение значения k = 0, 1, 3, получим значения общих комплексных сопротивлений на всех гармониках в виде Z 0 = 20 Ом ; Z 1 = 10 — j 5 Ом ; Z 3 = 2+ j 9 Ом . Из этих выражений видно, что комплексные сопротивления на разных частотах могут иметь реактивную составляющую разного знака. Отсюда комплексные значения токов — I 0 = U 0 / Z 0 = 10/20 = 0.5 А;

m 1 = m 1 / Z 1 = 20 e — j 30 ° /(10 — j 5) = 1.78 e — j 3.4 ° А; m 3 = Um 3 / Z 3 = 5 e j 45 ° /(2+ j 9) = 0.54 e — j 32.4 ° А.

Полученные комплексные значения составляющих спектра токов можно представить рядом Фурье в виде

i = 0.5+1.78sin(1000 t — 3.4 ° )+0.54sin(1000 t — 32.4 ° ) А.

Теперь можно определить активную мощность в цепи как

P=U 0 I 0 + U 1 I 1 Cos j 1 + U 3 I 3 Cos j 3 =

10 ґ 0.5+ (20 ґ 1.78/2) ґ Cos[-30 o –(-3.4 o )]+ (5 ґ 0.54/2) ґ Cos[45 o –(-32.4 o )]=22.2 Вт

Источник