Меню

Баланс мощностей для проверки токов

Баланс мощностей в электрической цепи

Согласно закону Джоуля—Ленца работа, совершаемая постоянным током в сопротивлении,

Если в рассматриваемой ветви вместо резистора включен какой-либо другой преобразователь электромагнитной энергии в механическую или химическую, или другую форму энергии (электрический двигатель, заряжающийся аккумулятор и т.п.), работу, проделанную током за время t, можно подсчитать в том случае, если известно напряжение на преобразователе.

В этом случае формула Джоуля—Ленца приобретает другой вид:

При постоянном токе мощность, поступающая в участок цепи с сопротивлением r, определяется выражением:

где I, U и r сохраняют тот же смысл, что и в формуле Джоуля—Ленца.

Мощность, расходуемая во всей внешней цепи, и мощность, отдаваемая генератором, одна и та же величина. Мощность, развиваемая генератором, всегда больше той, которую генератор отдает во внешнюю цепь, так как часть мощности расходуется на покрытие потерь внутри самого генератора.

Выражение баланса мощностей для одиночного замкнутого контура, содержащего генератор с э.д.с. Е и внутренним сопротивлением ri и резистор с сопротивлением r, можно получить из уравнения Кирхгофа.

Для этого контура

Если обе части этого равенства умножить на ток в цепи, то полученное уравнение и будет представлять собой баланс мощностей в данном контуре

Мощность, развиваемая генератором, равна сумме мощностей теряемой внутри генератора и отдаваемой во внешнюю цепь. Р0 = EI — мощность, развиваемая генератором, Pe = UI=I2r — мощность, отдаваемая генератором во внешнюю цепь, и Pi — I2ri — мощность, теряемая внутри самого генератора.

При выборе одинаковых положительных направлений тока через двухполюсник I и напряжения на двухполюснике U мощность, потребляемая двухполюсником, т. е. Произведение UI, должно быть положительно. Если же при этом окажется, что произведение UI отрицательно, это будет означать, что двухполюсник не потребляет электромагнитную энергию, а наоборот является генератором электромагнитной энергии и отдает эту энергию в электрическую цепь.

Баланс мощностей в электрической цепи

Если в электрической цепи ряд двухполюсников отдает электромагнитную энергию в цепь, то остальные эту энергию поглощают. В цепи при постоянном токе не может происходить накопления электромагнитной энергии. Поэтому сумма мощностей, расходуемых в пассивных двухполюсниках и мощностей, теряемых внутри генераторов, должна быть равна алгебраической сумме мощностей, развиваемых всеми генераторами, т. е. сумме произведений ЕкIк всех генераторов, действующих в цепи:

где n — число ветвей в цепи.

Уравнение баланса, полученное для простой цепи, содержащей один генератор, можно переписать, выразив мощность, расходуемую во внешней цепи, через мощность, развиваемую генератором, и мощность, теряемую внутри генератора:

Источник

Баланс мощностей в электрической цепи

В программу расчёта электрических цепей добавлен функционал проверки баланса мощностей.

Из закона сохранения энергии следует, что в любой цепи соблюдается баланс мощностей. Сумма всех отдаваемых мощностей равна сумме всех потребляемых мощностей [1]:

где $ \underline_\textrm <ист>$ – комплексная мощность, отдаваемая источниками тока и напряжения электрической цепи; $ \underline_\textrm <пр>$ – комплексная мощность, потребляемая пассивными элементами электрической (резисторами, катушками индуктивности, конденсаторами).

Комплексная мощность, отдаваемая источником ЭДС, определяется по формуле:

$$ \tag <1>\underline_\textrm = \underline ⋅ \underline’, $$

где $ \underline $ – значение ЭДС; $ \underline’ $ – комплексно-сопряжённый ток, протекающий через источник ЭДС; знак ‘ обозначает сопряжённый комплекс.

Формула (1) справедлива для того случая, когда направление источника ЭДС совпадает с направлением протекающего через него тока (рис. 1). Если направление источника ЭДС не совпадает с направлением протекающего через него тока, то мощность, отдаваемая этим источником ЭДС, берётся c противоположным знаком.

Рис. 1. Положительные направления тока и источника ЭДС

Комплексная мощность, отдаваемая источником тока, определяется по формуле:

$$ \tag <2>\underline_\textrm = \underline_\textrm ⋅ \underline’, $$

где $ \underline_\textrm $ – напряжение на источнике тока; $ \underline’ $ – комплексно-сопряжённый ток источника тока. Формула (2) справедлива для случая, когда принятое направления тока совпадает с направлением источника тока, а направление напряжения соответствует рис. 2.

Рис. 2. Положительные направления тока и напряжения на источнике тока

Комплексная мощность, потребляемая электрической цепью, складывается из мощностей, потребляемых резисторами, катушками индуктивности и конденсаторами.

Комплексная мощность, потребляемая резистором, определяется по формуле

$$ \tag <3>\underline_\textrm = R ⋅ I^<2>, $$

где $ R $ – сопротивление резистора; $ I $ – абсолютное значение тока, протекающего через резистор (берётся модуль комплексного числа).

Комплексная мощность, потребляемая катушкой индуктивности, определяется по формуле

$$ \tag <4>\underline_\textrm = jX_ ⋅ I^<2>, $$

где $ X_ $ – сопротивление катушки индуктивности; $ I $ – абсолютное значение тока, протекающего через катушку индуктивности (берётся модуль комплексного числа).

Комплексная мощность, потребляемая конденсатором, определяется по формуле

где $ X_ $ – сопротивление конденсатора; $ I $ – абсолютное значение тока, протекающего через конденсатор (берётся модуль комплексного числа).

Читайте также:  Рельсовая цепь автоблокировки переменного тока

Формулы (3)-(5) показывают, что мощность, потребляемая резисторами, является чисто активной, а мощность, потребляемая катушками индуктивности и конденсаторами, является чисто реактивной.

Список использованной литературы

  1. Зевеке Г.В., Ионкин П.А., Нетушил А.В., Страхов С.В. Основы теории цепей. Учебник для вузов, 1975.

Рекомендуемые записи

При расчёте электрических цепей, в том числе для целей моделирования, широко применяются законы Кирхгофа, позволяющие…

На сайте появилась программа для расчёта установившихся режимов электрических цепей по законам ТОЭ. На настоящий…

Метод эквивалентного генератора (МЭГ) применяется, когда есть некая нагрузка, подключённая к сложной активной цепи. При…

Добавить комментарий Отменить ответ

Для отправки комментария вам необходимо авторизоваться.

Этот сайт использует Akismet для борьбы со спамом. Узнайте, как обрабатываются ваши данные комментариев.

Источник

Баланс мощностей

В соответствии с законом сохранения энергии в любой электрической цепи энергия, вырабатываемая всеми источниками в единицу времени, равна энергии, потребляемой приемниками электрической энергии в единицу времени. Т.е. в электрических цепях энергетический баланс можно свести к балансу мощностей.

Рассмотрим обобщенную электрическую цепь постоянного тока произвольной конфигурации, с произвольным числом источников электрической энергии и произвольным числом приемников электрической энергии. Если все источники являются источниками ЭДС, то уравнение баланса мощностей для такой цепи можно записать в виде:

Левая часть уравнения баланса мощностей представляет собой арифметическую сумму мощностей, обусловленных выделением тепла на сопротивлениях R при протекании через них тока I в соответствии с законом Джоуля-Ленца. Эта сумма охватывает все сопротивления R электрической цепи, в том числе и внутренние сопротивления источников Ri.

Правая часть уравнения баланса мощностей представляет собой алгебраическую сумму мощностей источников ЭДС. Выбор знака очередного члена алгебраической суммы производится в соответствии с энергетическими соотношениями, характерными для режимов генерирования и потребления электрической энергии реальным источником ЭДС, которые были рассмотрены в предыдущем параграфе. А именно: если знаки E и I одинаковы, то мощность источника EI положительна, и он работает в режиме генерирования электрической энергии; если знаки E и I различны, то мощность источника EI отрицательна, и он работает в режиме потребления электрической энергии.

При наличии в схеме источников тока их мощность также необходимо учесть в правой части уравнения баланса мощностей. Предположим, что источник тока включен между узлами a и b схемы: в узел a втекает ток Ik источника тока, а из узла b он вытекает. Тогда на выводных зажимах источника тока будет напряжение Uab. Если знаки Ik и Uab одинаковы, то мощность источника тока UabIk положительна, и он работает в режиме генерирования электрической энергии. Если знаки Ik и Uab различны, то мощность источника тока UabIk отрицательна, и он работает в режиме потребления электрической энергии.

С учетом изложенного уравнение баланса мощностей для цепи, содержащей как источники ЭДС, так и источники тока, можно записать в следующем виде:

Уравнения баланса мощностей удобно использовать для проверки правильности расчета токов в ветвях электрической цепи.

Пример 7. Проверить правильность расчета токов в примере 3 для схемы рис. 31 путем составления баланса мощностей.

Решение

Составляем уравнение баланса мощностей для схемы рис. 31:

Подставляем численные значения:

6∙2,82 2 + 10∙0,96 2 + 2∙1,86 2 + 7∙1,69 2 + 1∙1,69 2 + 8∙0,73 2 + 9∙1,13 2 + 1∙1,13 2 =

= 40∙1,69 + 32∙1,13.

Производя вычисления, получаем:

Вт.

Баланс мощностей сошелся. Токи рассчитаны правильно.

Источник



Проверка результатов расчета методом баланса мощностей

ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ЭЛЕКТРОТЕХНИКИ

Методические материалы для студентов специальности 110302

«Электрификация и автоматизация сельского хозяйства»

Составил к.т.н., доцент А.А.Штин

Контрольная работа № 1

Расчет линейных цепей постоянного тока

1. По заданному номеру варианта из табл.1 выбрать схему цепи и численные данные для расчета. Знак «– » означает, что данный элемент отсутствует.

2. Рассчитать все токи в цепи классическим методом на основе законов Кирхгофа.

3. Рассчитать все токи в цепи методом контурных токов.

4. Сравнить полученные результаты.

5. Произвести проверку расчетов с помощью баланса мощностей.

Вариант Рис. № E1, В E2, В E3, В R1, Ом R2, Ом R3, Ом R4, Ом R5, Ом R6, Ом
1 1 10 10 10 40 30 20 10
2 1 10 20 10 40 30 20 20
3 1 20 10 10 40 30 20 10
4 1 20 20 10 40 30 20 20
5 1 30 10 10 40 30 40 10
6 1 30 20 10 40 30 40 20
7 1 40 10 10 40 30 40 10
8 1 40 20 10 40 30 40 20
9 1 50 10 20 40 60 20 10
10 1 50 20 20 40 60 20 20
11 1 10 30 20 40 60 20 10
12 1 10 40 20 40 60 20 20
13 1 20 30 20 40 60 40 10
14 1 20 40 20 40 60 40 20
15 1 30 30 20 40 60 40 10
16 1 30 40 30 40 60 40 20
17 1 40 30 30 40 30 20 10
18 1 40 40 30 40 30 20 20
19 1 50 30 30 60 30 20 10
20 1 50 40 30 60 30 20 20
21 1 10 50 30 60 30 40 10
22 1 10 60 30 60 30 40 20
23 1 20 50 30 60 30 40 10
24 1 20 60 30 60 30 40 20
25 1 30 50 40 60 60 20 10
26 2 30 60 40 60 60 20 20
27 2 40 50 40 60 60 20 10
28 2 40 60 40 60 60 20 20
29 2 50 50 40 60 60 40 10
30 2 50 60 40 60 60 40 20
31 2 60 50 40 60 60 40 10
32 2 60 60 40 60 60 40 20
33 2 70 50 40 60 30 20 10
34 2 70 60 40 60 30 20 20
35 2 10 10 20 10 40 20 20
36 2 10 20 10 10 40 40 10
37 2 20 10 20 10 40 40 20
38 2 20 20 10 10 40 40 10
39 2 30 10 20 10 60 40 20
40 2 30 20 10 10 60 20 10
41 2 40 10 20 10 60 20 20
42 2 40 20 10 10 60 20 10
43 2 50 10 20 20 60 20 20
Читайте также:  Найти магнитную индукцию в центре тонкого кольца по которому идет ток 10а радиус кольца 5см

Продолжение таблицы 1

44 2 50 20 10 20 60 40 10
45 2 10 30 20 20 60 40 20
46 2 10 40 10 20 60 40 10
47 2 20 30 20 20 60 40 20
48 2 20 40 10 20 60 20 10
49 2 30 30 20 20 60 20 20
50 2 30 40 10 30 60 20 10
51 3 40 30 40 30 60 20 20
52 3 40 40 40 40 60 40 10
53 3 50 30 40 30 60 40 20
54 3 50 40 40 40 60 40 10
55 3 10 50 40 50 60 40 20
56 3 10 60 40 60 60 20 10
57 3 20 50 40 50 60 20 20
58 3 20 60 40 60 60 20 10
59 3 30 50 40 50 60 20 20
60 3 30 60 60 60 60 40 10
61 3 40 50 60 50 10 40 20
62 3 40 60 60 60 10 40 10
63 3 50 50 60 50 10 40 20
64 3 50 10 10 60 10 10 20 10
65 3 10 20 60 20 10 20 20
66 3 20 10 60 10 10 40 20
67 3 20 20 20 40 10 40 40
68 3 30 10 10 40 10 40 40
69 3 30 20 20 40 20 40 40
70 3 40 10 10 40 20 60 40
71 3 40 20 20 40 20 60 20
72 3 50 10 10 40 20 60 20
73 3 50 20 20 40 20 60 20
74 3 10 30 30 40 20 20 10
75 3 10 40 40 40 20 40 20
76 4 20 30 30 60 60 40 10
77 4 20 40 40 60 60 40 20
78 4 30 30 30 60 60 40 10
79 4 30 40 40 60 60 20 20
80 4 40 30 50 60 60 20 10
81 4 40 40 60 60 60 20 20
82 4 50 30 50 60 60 20 10
83 4 50 40 60 60 60 40 20
84 4 10 50 50 60 60 40 10
85 4 10 60 60 60 60 40 20
86 4 20 50 50 60 10 40 10
87 4 20 60 60 60 10 20 20
88 4 30 50 50 60 10 20 20
89 4 30 60 10 60 10 40 40
90 4 40 50 20 60 10 40 40
Читайте также:  Схема принципа действия генератора постоянного тока

Продолжение таблицы 1

91 4 40 60 10 60 10 40 40
92 4 50 50 20 10 10 40 40
93 4 50 60 10 10 10 60 20
94 4 60 50 20 40 20 60 20
95 4 60 60 10 40 20 60 20
96 4 70 50 20 40 20 60 10
97 4 70 60 10 40 20 20 20
98 4 80 10 20 40 20 40 10
99 4 80 20 30 40 20 40 20
100 4 90 10 40 40 20 40 10

Пример расчета

Пусть необходимо рассчитать цепь, схема которой показана на рис.5.

Исходные данные: Е1 = 20 В, E2 = 0, E3 = 30 В, R1 = 10 Ом, R2 = 20 Ом, R3 = 25 Ом, R4 = 40 Ом, R5 = 15 Ом, R6 = 0.

Расчет цепи классическим методом

1. Определяем топологические элементы цепи. В частности, цепь содержит четыре узла, шесть ветвей и семь контуров. Поэтому необходимо найти значения шести токов. Число уравнений, составляемых по законам Кирхгофа, также равно шести. При этом число уравнений по первому закону Кирхгофа должно быть на единицу меньше числа узлов, то есть оно в данном случае равно трем.

2. Выбираем обозначения и направления токов в ветвях, как показано на рис. 5.

3. Выбираем три контура и направления их обхода. На рис.5 выбраны три внутренних контура и направления обхода по часовой стрелке. Контура должны включать все элементы цепи.

4. Составляем три уравнения по первому закону Кирхгофа и три уравнения по второму закону Кирхгофа (1).

5. Решаем систему (1) любым методом и получаем значения токов:

На рис. 6 показан листинг для программы Mathcad 13, позволяющей решить алгебраическую систему практически без затрат времени. Можно решить систему вручную методом подстановки, изложенном в курсе средней школы.

Заметим, что отрицательные значения токов свидетельствуют о несоответствии реальных направлений токов ранее выбранным направлениям.

Расчет цепи методом контурных токов

1. Определяем количество уравнений, составляемых в соответствии с данным методом. Оно должно быть равно числу уравнений, составляемых по второму закону Кирхгофа в классическом методе расчета, то есть трем.

2. Выбираем три контура и направления соответствующих контурных токов. Выберем контурные токи I11, I22 и I33, как показано на рис. 7.

3. Составляем систему уравнений по методу контурных токов

4. Решаем систему (2) и находим контурные токи:

5. Находим реальные значения токов в ветвях:

Отрицательное значение тока свидетельствует о том, что реальное направление тока противоположно направлению соответствующего контурного тока.

Сравнивая значения токов, полученных двумя методами, можно заметить, что они практически совпадают.

Проверка результатов расчета методом баланса мощностей

Баланс мощностей основан на законе сохранения энергии и выражается следующей формулой

где k – номер ветви, n – число ветвей, Ek – ЭДС источника напряжения, Jk – ток источника тока, Ik – ток, Rk – активное сопротивление.

Для цепи, показанной на рис. 5, формула (3) приводится к следующему виду

Подставляем численные данные и получаем

24,79 Вт = 24,79 Вт.

Таким образом, проверка методом баланса мощностей подтвердила правильность расчетов.

Контрольная работа № 2

Дата добавления: 2020-11-15 ; просмотров: 120 ; Мы поможем в написании вашей работы!

Источник